구의 부피

1️⃣ 사전 지식

• 부피는 공간 속에서 물체가 차지하는 크기를 나타내는 값이야.
• 부피 단위는 보통 $\text{cm}^3$, $\text{m}^3$ 같은 세제곱 단위를 사용해.
• $\text{(원기둥의 부피)} = \text{(밑넓이)} \times \text{(높이)} = \pi r^2 h$

2️⃣ 핵심 개념

• 구를 이해할 때, 원기둥 안에 딱 맞게 들어가는 구를 생각해보자. 이 원기둥의 밑면인 원의 반지름은 $r$이고 높이는 $2r$이야.
  • 원기둥 안의 반지름이 $r$인 구의 부피는 원기둥의 부피의 일부야.
  • 일반적으로 구의 부피는 원기둥의 부피의 $\dfrac{2}{3}$임이 알려져 있어.
• 따라서 구의 부피 공식은 다음과 같아.
  $$\displaystyle V = \frac{2}{3} \times \left( \pi r^2 \times 2r \right) = \frac{4}{3} \pi r^3$$

3️⃣ 예제 및 적용

• 테니스 공이 원기둥 상자 안에 들어있다고 생각해보자. 상자의 부피는 테니스 공의 부피보다 큼을 알 수 있고, 상자 안에서 테니스공이 차지하는 공간의 양을 구하는 데 구의 부피 공식을 쓸 수 있어.
• 농구공의 반지름이 $6\ \text{cm}$라면, 부피는 $\dfrac{4}{3} \pi (6)^3\ \text{cm}^3$으로 구할 수 있어.

4️⃣ 개념 정리

• 구의 부피는 원기둥 부피의 $\dfrac{2}{3}$배야.
• 반지름이 $r$인 구의 부피는 $\dfrac{4}{3} \pi r^3$로 계산해.
• 구를 원기둥 안에 넣어 생각하면, 구가 차지하는 공간이 원기둥 부피보다 작다는 것을 알 수 있어.
• 실생활에서도 많이 쓰이는 공식이라, 주변에서 모양을 찾아보고 부피를 계산해 보면 이해가 더 쉬워질 거야.