중심각의 크기와 호의 길이, 넓이, 현의 길이 사이의 관계

1️⃣ 사전 지식

• 원의 중심과 반지름: 원은 중심에서 같은 거리에 있는 점들의 모임이야. 중심에서 원 위의 한 점까지의 거리를 반지름이라고 해.
• 호: 원 위의 두 점을 연결하는 원의 일부야.
• 중심각: 원의 중심에서 원 위의 두 점을 잇는 두 반지름이 만드는 각이야.
• 부채꼴: 중심각과 원의 호, 그리고 두 반지름이 만드는 도형을 말해.

2️⃣ 핵심 개념

• 중심각과 호의 길이의 관계: 원의 중심각이 커질수록 호의 길이도 커져. 즉, 중심각의 크기와 호의 길이는 서로 정비례하는 관계야. 중심각이 두 배가 되면 호의 길이도 두 배가 되는 거지.
• 중심각과 부채꼴의 넓이 관계: 부채꼴의 넓이도 중심각의 크기에 따라 달라져. 중심각이 클수록 부채꼴의 넓이도 커지는데, 이 역시 중심각과 부채꼴의 넓이가 정비례하는 관계야.
• 한 원에서 중심각의 크기가 같은 두 부채꼴의 호의 길이와 넓이는 각각 같다는 것도 알 수 있어. 이는 반지름이 같은 두 원에서도 해당돼.
  
• 한 원에서 현의 길이는 중심각의 크기에 정비례하지 않아.
  • 부채꼴 AOB와 부채꼴 BOC는 중심각의 크기가 같으므로 $\overline{AB} = \overline{BC}$야.
  • 현의 길이가 중심각의 크기에 정비례한다면 $\overline{AC} = 2\overline{AB}$이어야 해.
  • 그런데 $\triangle ABC$에서 $\overline{AC}\ ＜ \overline{AB} + \overline{BC} = 2\overline{AB}$야. 따라서 $\overline{AC} = 2\overline{AB}$이 성립하지 않으므로 현의 길이와 중심각의 크기는 정비례하지 않음을 알 수 있어.

3️⃣ 예제 및 적용

• 피자를 일정한 크기로 나눌 때, 각 조각의 중심각이 클수록 피자 조각의 테두리(호의 길이)가 길어지고, 조각의 넓이도 커져. 그래서 더 큰 조각을 원하면 중심각을 크게 만들어야 해.
• 반지름이 5cm인 원에서 중심각이 60도인 부채꼴과 120도인 부채꼴을 생각해 보자. 중심각이 두 배가 되면 호의 길이와 넓이도 두 배가 된다는 사실을 알 수 있어.

4️⃣ 개념 정리

• 한 원에서 중심각의 크기가 같은 두 부채꼴의 호의 길이와 넓이는 각각 같아.
• 한 원에서 부채꼴의 호의 길이와 넓이는 각각 중심각의 크기에 비례해.
• 중심각, 호, 부채꼴을 구분하고 이들 사이의 관계를 머릿속에 잘 정리해 두는 게 중요해!