다각형의 내각의 크기의 합

1️⃣ 사전 지식

• 다각형: 여러 개의 선분이 연결되어 만들어진 도형이야. 선분들은 서로 만나서 도형의 경계를 이루고 있어.
• 삼각형의 내각은 삼각형 내부에 있는 세 각을 말해. 이 내각의 합은 항상 $180^\circ$야.
• $n$각형의 꼭짓점 수는 $n$개이고 대각선의 개수는 $\dfrac{n \times (n-3)}{2}$개야.

2️⃣ 핵심 개념

• 1. n각형의 한 꼭짓점에서 대각선을 그을 때 만들어지는 삼각형의 개수

  다각형	사각형	오각형	육각형	칠각형
  꼭짓점 개수	$4$	$5$	$6$	$7$
  삼각형 개수	$2$	$3$	$4$	$5$

  위 표와 같이 다각형의 꼭짓점 개수를 $n$개라 할 때 삼각형의 개수는 $(n - 2)$개임을 알 수 있어.

  즉, 한 꼭짓점에서 그은 대각선들로 다각형 내부가 삼각형 여러 개로 나누어지지.
  한 꼭짓점에서 대각선을 그어 삼각형으로 나타내는 이유는, 서로 만나지 않게만 대각선을 그으면 나누어지는 삼각형은 항상 같지만 다각형의 변의 개수가 많아지게 되면 규칙성을 찾기 어려워지기 때문이야.
  참고로 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선은 $(n - 3)$개야.

• 2. n각형의 내각의 크기의 합
  삼각형의 내각의 합이 $180^\circ$인 점을 활용하면, $n$각형의 내각의 합은
  $$180^\circ \times (n - 2)$$
  공식으로 구할 수 있어.
  오각형에서 내각의 합을 구하는 예시를 들어볼게.
  오각형은 $n = 5$ 이므로, $180^\circ \times (5 - 2) = 180^\circ \times 3 = 540^\circ$를 구할 수 있어.
  따라서 오각형의 내각의 합은 $540^\circ$야.

3️⃣ 예제 및 적용

우리가 지금까지 배운 개념들을 전부 생각해볼게. 육각형을 예시로 보자. $\\[0.1cm]$
총 대각선의 개수는 $\dfrac{6 \times (6 - 3)}{2} = 9$개이고, 꼭짓점 하나에서 그을 수 있는 대각선의 개수는 $(6 - 3) = 3$개야.
삼각형의 개수는 $(6 - 2) = 4$개이고, 내각의 합은 $180^\circ \times 4 = 720^\circ$야.

4️⃣ 개념 정리

• 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수는 $(n - 3)$개야.
• 한 꼭짓점에서 대각선을 그으면 다각형 내부가 $(n - 2)$개의 삼각형으로 나누어져.
• 다각형 내각의 크기의 합은 삼각형의 내각 합을 이용해서 $180^\circ \times (n - 2)$로 구해.

이 공식들은 다각형의 성질을 이해하는 데 아주 중요한 기본 개념이니 꼭 익혀두자! 😊

내각의 합이 같은 다각형이라면, 각 꼭짓점의 각도는 모두 같을까?