다각형의 대각선 개수

1️⃣ 사전 지식

• 다각형: 세 개 이상의 선분이 만드는 도형이고, 각각의 선분은 변, 만나는 점은 꼭짓점이야.
• 대각선: 다각형에서 이웃하지 않는 두 꼭짓점을 이은 선분이야.

2️⃣ 핵심 개념

• 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수를 구해보자.
  1. 한 꼭짓점에서 다른 꼭짓점으로 선을 그을 때, 바로 옆에 있는 두 꼭짓점은 변이기 때문에 대각선이 아니야. 그리고 자기 자신에게는 선을 그을 수 없지. 그래서 한 꼭짓점에서 대각선을 그을 수 있는 개수는

n개 (전체 꼭짓점 개수) - $1$개 (자기 자신) - $2$개 (바로 옆에 있는 두 꼭짓점), 즉
$$\text{한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선 개수} = n - 3$$
가 돼.

2. 다각형의 모든 꼭짓점에서 대각선을 그으면, 꼭짓점 수 $n$에 $n-3$을 곱해
   $$n \times (n-3)$$
   이지만 이 방법은 각 대각선을 두 번씩 세는 거야 (예를 들어, 꼭짓점 A에서 B로, 꼭짓점 B에서 A로 같은 대각선). 그래서 $2$로 나누면
   $$\text{다각형의 대각선의 총 개수} = \frac{n(n-3)}{2}$$
   공식이 완성돼.

3️⃣ 예제 및 적용

• 예를 들어, 오각형을 생각해 보자.
  오각형의 꼭짓점 수는 5개이므로 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선은 $5 - 3 = 2$개야.
  전체 대각선 개수는 $\frac{5 \times (5-3)}{2} = \frac{5 \times 2}{2} = 5$
  그래서 오각형에는 총 $5$개의 대각선이 있어.

4️⃣ 개념 정리

• • 대각선은 다각형에서 이웃하지 않는 두 꼭짓점을 이은 선분이야.
• $\text{다각형의 대각선의 총 개수} = \frac{n(n-3)}{2}$
• 꼭짓점 개수가 늘어날수록 대각선 개수는 훨씬 많이 증가해.
• 공식은 꼭짓점 개수와 대각선의 관계를 쉽게 알려줘서 복잡한 도형도 빠르게 계산할 수 있어

학습 팁!
꼭짓점과 변, 대각선의 차이를 잘 구분하고, 작은 다각형(삼각형, 사각형, 오각형)으로 직접 그려보면서 공식이 왜 맞는지 확인해 보면 좋아. 😊