y=a/x(a≠0)의 그래프

1️⃣ 사전 지식
먼저, 좌표평면과 함수에 대해 알아야 해. 좌표평면은 가로축을 x축, 세로축을 y축으로 나눈 평면이야. 함수는 x값에 따라 y값이 하나씩 정해지는 규칙이지.
그리고, 분수와 반비례 관계에 대해서도 알고 있어야 해. 반비례 관계란, 한 값이 커질 때 다른 값이 작아지는 관계를 말해.

2️⃣ 핵심 개념

• 식의 의미: 함수 $y = \frac{a}{x}$ (단, $a ≠ 0$)는 x가 0이 아닌 모든 실수에 대해 정의돼 있어. 여기서 a는 상수이고, x에 따라 y가 변해. 이 함수는 반비례 함수라고 불러.

• (1, a) 점은 x가 1일 때 y값이 a임을 보여줘서 a를 쉽게 확인할 수 있어.

• 이때 x의 값이 구체적으로 주어지지 않으면 x의 값은 0이 아닌 모든 수로 생각해.

• a > 0일 때

  • 그래프는 제1사분면과 제3사분면을 지나.
  • x가 커지면 y는 작아지고, x가 작아지면 y는 커져서 함수는 감소 함수야.
  • 예를 들어, $a=2$면 $y = \frac{2}{x}$이고, (1, 2) 점이 그래프 위에 있어.

• a < 0일 때

  • 그래프는 제2사분면과 제4사분면을 지나.
  • 이때도 x가 커질수록 y는 작아져서 역시 감소 함수야.
  • 예를 들어, $a=-3$이면 $y = \frac{-3}{x}$이고, (1, -3) 점이 그래프 위에 있어.

그래프 모양은 두 쌍의 곡선으로 나뉘며, x=0 또는 y=0에 가까워질수록 y값과 x값은 점점 커지거나 작아져서 축에 가까워지지만 절대 만나지 않아.

예를 들어, $a = 2$인 $y = \frac{2}{x}$에서 $x$가 2일 때 $y = 1$, $x$가 1일 때 $y= 2$, $x$가 $\frac{1}{2}$일 때 $y = 4$, $x$가 $\frac{1}{3}$일 때 $y = 6$, $\cdots$ , $x$가 $\frac{1}{10}$일 때 $y = 20$, $\cdots$ 으로 $x$가 0에 가까워질수록 $y$ 값이 점점 커지는 것을 확인할 수 있어. 이건 $a$가 음수일 때도 확인할 수 있어.
이제 그래프를 보면서 직접 확인해볼게! 😊

3️⃣ 예제 및 적용

• 실생활 예시:
  • 자동차의 속도와 도착 시간의 관계를 생각해보자. 거리가 일정할 때, 속도가 빨라지면 도착 시간은 줄어들어. 즉, 속도와 도착 시간은 반비례 관계야.
  • 만약 거리가 100km라면, $시간 = \frac{100}{속도}$, 즉 $y = \frac{100}{x}$ 형태야. 속도가 1km/h면 시간이 100시간, 속도가 10km/h면 시간이 10시간이지.
• 이런 반비례 관계를 $y = \frac{a}{x}$ 그래프로 나타낼 수 있어.

4️⃣ 개념 정리

• $y = \frac{a}{x} (a ≠ 0)$는 x와 y가 서로 반비례하는 함수야.
• a가 양수일 때는 제1, 3사분면, 음수일 때는 제2, 4사분면을 지나.
• 그래프는 x축과 y축에 가까워지지만 만나지 않아.
• 함수는 x가 증가할 때 y가 감소하는 감소 함수야.
• (1, a) 점은 항상 그래프 위에 있어서 위치를 쉽게 확인할 수 있어.