$y = \frac{a}{x} \; (a \ne 0)$의 그래프

1️⃣ 사전 지식

• 좌표평면은 좌표축이 정해져 있는 평면을 말해.
• 반비례 관계란, 한 값이 커질 때 다른 값이 작아지는 관계를 말해.

2️⃣ 핵심 개념

• 함수 $y = \dfrac{a}{x}$ (단, $a \neq 0$)는 $x$가 $0$이 아닌 모든 실수에 대해 정의돼 있어.
  여기서 $a$는 상수이고, $x$에 따라 $y$가 변해. 이 함수는 반비례 함수라고 불러.
• $(1, a)$ 점은 $x$가 $1$일 때 $y$값이 $a$임을 보여줘서 $a$를 쉽게 확인할 수 있어.
• 이때 $x$의 값이 구체적으로 주어지지 않으면 $x$의 값은 $0$이 아닌 모든 수로 생각해.

• $a > 0$일 때

  • 그래프는 제1사분면과 제3사분면을 지나.
  • $x$가 커지면 $y$는 작아지고, $x$가 작아지면 $y$는 커져.
  • 예를 들어, $a=2$면 $y = \dfrac{2}{x}$이고, $(1, 2)$ 점이 그래프 위에 있어.

• $a < 0$일 때

  • 그래프는 제2사분면과 제4사분면을 지나.
  • $x$가 커지면 $y$도 커지고, $x$가 작아지면 $y$도 작아져.
  • 예를 들어, $a=-3$이면 $y = \dfrac{-3}{x}$이고, $(1, -3)$ 점이 그래프 위에 있어.

• 그래프 모양은 두 쌍의 곡선으로 나뉘며, $x$축 또는 $y$축에 가까워질수록 $y$값과 $x$값은 점점 커지거나 작아져서 축에 가까워지지만 절대 만나지 않아.

• $y = \dfrac{a}{x}$그래프는 원점, $y = x$, $y = -x$에 대해 대칭이야.

• 예를 들어, $a = 2$인 $y = \dfrac{2}{x}$에서 $x$가 $2$일 때 $y = 1$, $x$가 $1$일 때 $y= 2$, $x$가 $\dfrac{1}{2}$일 때 $y = 4$, $x$가 $\dfrac{1}{3}$일 때 $y = 6$, $\dots$ , $x$가 $\dfrac{1}{10}$일 때 $y = 20$, $\dots$ 으로 $x$가 $0$에 가까워질수록 $y$ 값이 점점 커지는 것을 확인할 수 있어. 이건 $a$가 음수일 때도 확인할 수 있어.

3️⃣ 예제 및 적용

• 자동차의 속도와 도착 시간의 관계를 생각해보자. 거리가 일정할 때, 속도가 빨라지면 도착 시간은 줄어들어. 즉, 속도와 도착 시간은 반비례 관계야.
  • 만약 거리가 $100\,\text{km}$라면, $시간 = \dfrac{100}{속도}$, 즉 $y = \dfrac{100}{x}$ 형태야. 속도가 $1\,\text{km/h}$면 시간이 $100$시간, 속도가 $10\,\text{km/h}$면 시간이 $10$시간이지.

4️⃣ 개념 정리

• $y = \dfrac{a}{x} (a \neq 0)$는 $x$와 $y$가 서로 반비례하는 함수야.
• $a$가 양수일 때는 제1, 3사분면, 음수일 때는 제2, 4사분면을 지나.
• 그래프는 $x$축과 $y$축에 가까워지지만 만나지 않아.
• $(1, a)$ 점은 항상 그래프 위에 있어서 위치를 쉽게 확인할 수 있어.