$y = ax \; (a \ne 0)$의 그래프

1️⃣ 사전 지식

먼저, 좌표평면에 대해 알아야 해. 좌표평면은 가로축을 $x$축, 세로축을 $y$축이라고 부르고, 이 두 축이 만나는 점을 원점$(0,0)$이라고 해.
그리고 함수라는 개념도 알아야 하는데, 함수는 $x$값을 넣으면 $y$값이 하나로 정해지는 규칙이야.
마지막으로, 정비례라는 것도 알아야 해. 정비례는 두 양이 일정한 비율로 함께 커지거나 작아지는 관계야.

2️⃣ 핵심 개념: $y = ax (a ≠ 0)$의 그래프

• 식의 의미: $y = ax$는 $x$에 어떤 수 $a$를 곱한 값이 $y$라는 뜻이야. 여기서 $a$는 $0$이 아닌 어떤 수(양수 또는 음수)야.

• 그래프는 항상 원점을 지나.

• $(1, a)$ 점은 $x$가 $1$일 때 $y$값이 $a$임을 보여줘서 $a$를 쉽게 확인할 수 있어.

• $a > 0$일 때

  • 모양: 그래프는 원점$(0,0)$을 지나면서 오른쪽 위로 올라가는 직선이야.
  • 지나는 사분면: 1사분면(오른쪽 위)과 3사분면(왼쪽 아래)을 지나.
  • $x$와 $y$의 관계: $x$가 커질수록 $y$도 커져(증가 함수).
  • 특징: $a$가 클수록 그래프가 더 가파르게 올라가.

• $a < 0$일 때

  • 모양: 그래프는 원점$(0,0)$을 지나면서 오른쪽 아래로 내려가는 직선이야.
  • 지나는 사분면: 2사분면(왼쪽 위)과 4사분면(오른쪽 아래)을 지나.
  • $x$와 $y$의 관계: $x$가 커질수록 $y$는 작아져(감소 함수).
  • 특징: $a$가 작을수록 그래프가 더 가파르게 내려가.

그래프 그림 ($a > 0, a < 0$ 경우 각각 2개씩)

3️⃣ 예제 및 적용

• 실생활 예:
  • 속도와 시간: 자동차가 일정한 속도로 달릴 때, 이동 거리는 속도($a)$와 시간($x)$의 곱으로 나타낼 수 있어. 이때 이동 거리($y$) = 속도($a$) × 시간($x$)이지. 속도가 양수면 거리가 시간이 지날수록 늘어나고, 속도가 음수면(예를 들어 뒤로 움직일 때) 거리가 줄어들어.
  • 가격과 수량: 사과 한 개의 가격이 $a$원일 때, 사과 $x$개를 사면 총 가격 $y = ax$가 돼. 가격이 양수면 당연히 총 가격도 양수이고, 수량이 많아질수록 총 가격도 커져.

4️⃣ 개념 정리

• $y = ax (a ≠ 0)$는 원점을 지나는 직선 그래프야.
• $a > 0$이면 그래프가 오른쪽 위로 올라가며 1사분면과 3사분면을 지나고, 증가 함수야.
• $a < 0$이면 그래프가 오른쪽 아래로 내려가며 2사분면과 4사분면을 지나고, 감소 함수야.
• $(1, a)$ 점은 그래프에서 $x=1$일 때 $y$값을 나타내므로, $a$를 쉽게 알 수 있는 중요한 점이야.
• 그래프의 $a$가 클수록 더 가파른 직선이 돼.

학습 팁!

• 그래프를 그릴 때는 항상 원점을 포함하는지 확인하고, $(1, a)$ 점을 찍어보면 $a$를 바로 알 수 있어.
• $a$의 부호에 따라 그래프가 올라가거나 내려가는 것만 기억해도 그래프 모양을 쉽게 이해할 수 있어! 😊