$y = ax \; (a \ne 0)$의 그래프

1️⃣ 사전 지식

• 좌표평면은 좌표축이 정해져 있는 평면을 말해.
• 순서쌍은 $(x, y)$ 형태로, $x$는 가로 위치, $y$는 세로 위치를 나타내.
• 정비례는 두 양이 일정한 비율로 함께 커지거나 작아지는 관계야.

2️⃣ 핵심 개념

• $y = ax$는 $x$에 어떤 수 $a$를 곱한 값이 $y$라는 뜻이야. 여기서 $a$는 $0$이 아닌 어떤 수야.
• 그래프는 항상 원점을 지나.
• $(1, a)$ 점은 $x$가 $1$일 때 $y$값이 $a$임을 보여줘서 $a$를 쉽게 확인할 수 있어.

• $a > 0$일 때

  • 모양: 그래프는 원점$(0,0)$을 지나면서 오른쪽 위로 올라가는 직선이야.
  • 지나는 사분면: 제1사분면과 제3사분면을 지나.
  • $x$와 $y$의 관계: $x$가 커질수록 $y$도 커져.

• $a < 0$일 때

  • 모양: 그래프는 원점$(0,0)$을 지나면서 오른쪽 아래로 내려가는 직선이야.
  • 지나는 사분면: 제2사분면과 제4사분면을 지나.
  • $x$와 $y$의 관계: $x$가 커질수록 $y$는 작아져.

3️⃣ 예제 및 적용

• 자동차가 일정한 속도로 달릴 때, 이동 거리는 속도($a)$와 시간($x)$의 곱으로 나타낼 수 있어.
  속도가 양수면 거리가 시간이 지날수록 늘어나고, 속도가 음수면(예를 들어 뒤로 움직일 때) 거리가 줄어들어.
• 사과 한 개의 가격이 $a$원일 때, 사과 $x$개를 사면 총 가격 $y = ax$가 돼.

4️⃣ 개념 정리

• $y = ax (a \neq 0)$는 원점을 지나는 직선 그래프야.
• $a > 0$이면 그래프가 오른쪽 위로 올라가며 제1사분면과 제3사분면을 지나고, 증가 함수야.
• $a < 0$이면 그래프가 오른쪽 아래로 내려가며 제2사분면과 제4사분면을 지나고, 감소 함수야.
• $(1, a)$ 점은 그래프에서 $x=1$일 때 $y$값을 나타내므로, $a$를 쉽게 알 수 있는 중요한 점이야.
• 그래프의 $a$가 클수록 더 가파른 직선이 돼.

학습 팁!

• 그래프를 그릴 때는 항상 원점을 포함하는지 확인하고, $(1, a)$ 점을 찍어보면 $a$를 바로 알 수 있어.
• $a$의 부호에 따라 그래프가 올라가거나 내려가는 것만 기억해도 그래프 모양을 쉽게 이해할 수 있어! 😊