최소공배수

1️⃣ 사전 지식

최소공배수를 이해하려면 먼저 배수와 공배수의 개념을 알아야 해. 또한, 약수와 소인수분해도 알고 있어야 해.

• 배수: 어떤 수를 다른 정수와 곱해서 얻은 수야. 예를 들어, $3$의 배수는 $3, 6, 9, 12, ...$
• 공배수: 두 수 또는 그 이상의 수가 모두 나누어떨어지는 배수야. 예를 들어, $4$와 $6$의 공배수는 $12, 24, 36, ...$
• 약수: 어떤 수를 나누어떨어지게 하는 수
• 소인수분해: 수를 소수들의 곱으로 나타내는 것 (예: $12 = 2^2 \times 3$)

2️⃣ 핵심 개념

• 최소공배수(LCM, Least Common Multiple)는 두 수 이상의 공배수 중에서 가장 작은 양의 정수를 말해.
• 성질
  • 두 수 $a, b$의 최소공배수는 $a$와 $b$ 모두를 나누어 떨어지게 해.
  • 최소공배수는 두 수의 곱보다 같거나 작아.
  • 최소공배수는 공통된 배수 중 가장 작은 수이기 때문에, 두 수를 동시에 고려할 때 주로 쓰여.
• 최소공배수 구하는 방법
  1. 배수 나열법: 두 수의 배수를 각각 나열해서 공통으로 나타나는 배수 중 가장 작은 수를 찾는 방법
  • 예: $4$의 배수($4, 8, 12, 20, ...$)와 $6$의 배수($6, 12, 18, 24, ...$) 중 가장 작은 공통된 수는 $12$
  2. 소인수분해법: 두 수를 소인수분해 한 뒤, 각 소인수의 최대 지수를 선택해 곱하는 방법
  • 예: $4 = 2^2, 6 =2^1 \times 3^1$ → 최대 지수는 $2^2$와 $3^1$ → 최소공배수 = $2^2 \times 3 = 12$

3️⃣ 예제 및 적용

• 예를 들어, 학교에서 $4$일마다 체육대회를 하고, $6$일마다 과학실험을 한다면 두 행사가 동시에 열리는 날은 언제일까?
  • $4$와 $6$의 최소공배수를 구하면 $12$일이야.
  • 그래서 $12$일마다 두 행사가 같이 열려!
• 또 다른 예로, 두 친구가 각각 $3$분과 $5$분마다 종을 칠 때, 동시에 종을 칠 때까지 기다리는 시간을 최소공배수로 알 수 있어.

4️⃣ 개념 정리

• 최소공배수는 두 수 이상의 공통된 배수 중 가장 작은 수!
• 소인수분해, 배수 나열법, 최대공약수 이용법 등 여러 가지 방법으로 구할 수 있어요.
• 최대공약수와 최소공배수는 서로 관련이 있으니 꼭 함께 공부하면 좋아요!
• 학습 팁: 문제에 따라 가장 편한 방법을 선택해서 풀어보는 게 중요해요. 처음에는 배수 나열법으로 감을 잡고, 점점 소인수분해 이용법을 연습해보자!