최대공약수

1️⃣ 사전 지식

최대공약수를 이해하려면 먼저 약수와 공약수를 알아야 해.

• 약수란 어떤 수를 나누었을 때 나누어 떨어지는 수를 말해. 예를 들어, $12$의 약수는 $1, 2, 3, 4, 6, 12$야.
• 공약수는 두 수(또는 그 이상)의 약수 중에서 공통으로 있는 약수를 뜻해. 예를 들어, $12$와 $18$의 공약수는 $1, 2, 3, 6$이야.

또한, 소인수분해도 알아두면 좋아.

• 소인수분해는 어떤 수를 소수들의 곱으로 나타내는 방법이야. 예를 들어, $12 = 2^2 \times 3, 18 = 2 \times 3^2$ 처럼 말이지.

2️⃣ 핵심 개념

• 최대공약수(GCD, Greatest Common Divisor)란 두 수 이상의 공약수 중에서 가장 큰 수를 말해.
• 예를 들어, $12$와 $18$의 공약수는 $1, 2, 3, 6$인데, 이 중에서 가장 큰 수는 $6$이므로 $12$와 $18$의 최대공약수는 $6$이야.

최대공약수를 구하는 여러 가지 방법

1. 약수 나열법

   • 각 수의 약수를 모두 나열한 후 공통으로 있는 약수 중 가장 큰 수를 찾는 방법이야.
   • 예: $12$의 약수($1, 2, 3, 4, 6, 12$), $18$의 약수($1, 2, 3, 6, 9, 18$) → 공약수는 $1, 2, 3, 6$ → 최대공약수는 $6$

2. 소인수분해법

   • 각 수를 소인수분해한 뒤, 공통된 소인수의 최소 지수를 곱하는 방법이야.
   • 예:
     $$12 = 2^2 \times 3^1, \quad 18 = 2^1 \times 3^2$$
     공통 소인수는 $2$와 $3$이고, 각각 최소 지수는 $2^1$과 $3^1$이야.
     그래서 최대공약수는:
     $$2^1 \times 3^1 = 2 \times 3 = 6$$

3️⃣ 예제 및 적용

• 실생활 예시:
  두 개의 리본 길이가 각각 $12$cm와 $18$cm일 때, 두 리본을 같은 길이로 잘라서 최대한 많이 만들고 싶다면?

  • 이때 리본을 자르는 길이는 두 길이의 최대공약수인 $6$cm로 자르면, $12$cm 리본은 $2$개, $18$cm 리본은 $3$개로 나눌 수 있어.
  • 최대공약수를 알면 물건을 공평하게 나누거나, 반복되는 패턴을 찾는 데 도움을 줘.

• 수학적 예시:
  시험 문제에서 $24$와 $36$의 최대공약수를 구해보자.

  • 약수 나열법:
    $24$의 약수: $1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24$
    $36$의 약수: $1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36$
    공약수: $1, 2, 3, 4, 6, 12$
    최대공약수는 $12$야.

4️⃣ 개념 정리

• 최대공약수(GCD)는 두 수 이상의 공약수 중 가장 큰 수야.
• 구하는 방법은 약수 나열법, 소인수분해법이 있어.
• 최대공약수는 수학 문제뿐 아니라, 일상생활에서 물건을 공평하게 나누거나, 규칙을 찾는 데 유용해.
• 학습 팁:
  • 처음에는 약수 나열법으로 최대공약수를 구해보면서 감을 익히고,
  • 소인수분해법을 차근차근 배워서 더 빠르게 구하는 연습을 해보자!

필요하면 언제든 물어봐! 😊