소인수분해를 이용하여 약수 구하기

1️⃣ 사전 지식

• 약수란 어떤 수를 나누었을 때 나누어 떨어지는 수를 말해.
• 소인수분해란 어떤 수를 소인수의 곱으로 나타내는 것이야.
• 밑은 곱해지는 수, 지수는 곱하는 횟수야.

2️⃣ 핵심 개념

• 소인수분해를 이용하여 약수 구하기란, 먼저 수를 소인수분해한 뒤, 소수들의 지수를 이용해 모든 가능한 약수를 만드는 방법이야.
  만약 수가 $$N = p^a \times q^b$$ 형태라면, 약수는 $$1, p^1, ..., p^a$$ 와 $$1, q^1, ..., q^b$$ 의 모든 조합으로 만들어져.

• 따라서 약수의 개수는 $$(a + 1) \times (b + 1)$$ 방법으로 구할 수도 있어.

• 예를 들어, $12$를 소인수분해하면 $\ 2^2 \times 3^1$ 이야.
  $2^2$의 약수 중에서 고르고, $3^1$의 약수 중에서 고르는 모든 조합을 곱해서 만들 수 있어.
  그래서 약수는
  $$1 \times 1 = 1, \quad 2^1 \times 1 = 2, \quad 2^2 \times 1 = 4, \quad 1 \times 3^1 = 3, \quad 2^1 \times 3^1 = 6, \quad 2^2 \times 3^1 = 12$$
  이렇게 $6$개가 나와.

• 공식을 사용해서 $(2 + 1) \times (1 + 1)$ 방법으로도 구할 수 있어.

• 밑이 다른 두 개의 소인수일 때 가로, 세로 표의 조합
  소인수분해된 수가 $2^m \times 3^n$처럼 두 가지 다른 소수로 이루어져 있을 때, 가로축에는 $2$의 지수를, 세로축에는 $3$의 지수를 적어서 표를 만들 수 있어.
  예를 들어,

이 표를 보면 $12$의 약수를 쉽게 한눈에 확인할 수 있지? 이 방법은 소수의 지수 조합을 체계적으로 나타내 주어서 복잡한 수의 약수도 쉽게 구할 수 있어.

3️⃣ 예제 및 적용

• 간식을 나눔할 때, 총 $12$개의 사과를 모두에게 공평하게 나눌 때 소인수분해를 통해 약수를 구하면 $1$명, $2$명, $3$명, $4$명, $6$명, $12$명으로 가능한 인원수를 쉽게 알 수 있어.
• $18$을 소인수분해하면 $18 = 2^1 \times 3^2$
  가로축에 $1, 2^1$, 세로축에 $1, 3^1, 3^2$를 적으면 다음 표가 나와:

이 표를 보면 $18$의 모든 약수($1, 2, 3, 6, 9, 18$)를 쉽게 알 수 있지!

4️⃣ 개념 정리

• 소인수분해는 수를 소인수들만의 곱으로 표현하는 거고, 이를 이용해 약수의 모든 조합을 찾을 수 있어.
• 두 개 이상의 소인수일 때는 각각의 지수 조합을 표로 만들어서 약수를 체계적으로 구할 수 있어.
• 이 방법을 알면 복잡한 수의 약수도 빠르고 정확하게 구할 수 있어!
• 학습 팁! 먼저 소인수분해를 정확히 하고, 지수의 가능한 값을 모두 조합해 보는 연습을 해. 표로 정리하면 더 이해하기 쉬워. 😊