한 줄로 세우기

1️⃣ 핵심 개념

• 서로 다른 $n$개를 한 줄로 세우는 경우의 수는 $n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 1$ 이야.

2️⃣ 개념 더 알아보기

• 왜 이렇게 곱하는지 생각해보자.
• 첫 번째 자리에 누구나 올 수 있으니 $n$가지 경우가 있어.
• 두 번째 자리는 첫 번째 자리를 제외한 $(n-1)$가지 경우가 있어.
• 세 번째 자리는 앞 두 자리를 제외한 $(n-2)$가지 경우가 있고, 이런 식으로 계속 이어져.
• 서로 간에 영향을 미치므로, 각 자리의 경우의 수를 모두 곱해야 전체 경우의 수를 구할 수 있어.
• 한 줄로 세울 때 이웃하여 세우는 경우의 수는 어떻게 될지 알아보자.
• 이는 이웃하는 것을 하나로 묶어 한 줄로 세우는 경우의 수를 구하고, 묶음 안에서 자리를 바꾸는 경우의 수를 구하여 두 경우의 수를 곱하면 돼.
• 예를 들어 $n$명 중 두 명이 이웃한다고 한다면, 이 두 명을 한 사람으로 생각해서 이 묶음과 나머지 사람들을 한 줄로 세워.
• 그러면 총 사람 수는 $(n-1)$명이 되고, 이를 세우는 경우의 수는 $(n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 1$ 이 돼.
• 그리고 묶음 안에서 두 명은 서로 위치를 바꿀 수 있으니 $2$가지 경우가 있어.
• 그래서 이웃하여 세우는 경우의 수는
  $$2 \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 1$$

3️⃣ 예제 살펴보기

• ${\text{A, B, C, D}}$ 네 명을 한 줄로 세우는 경우의 수는 어떻게 될까?
• 첫 번째 자리에 올 수 있는 사람은 $4$명, 두 번째 자리는 남은 $3$명, 세 번째 자리는 $2$명, 마지막 자리는 $1$명 남아.
• 따라서 경우의 수는 $4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$가지야.
• ${\text{A, B, C, D}}$ 네 명 중 ${\text{A, B}}$를 이웃하여 세우는 경우의 수는 어떻게 될까?
• ${\text{A, B}}$를 하나의 덩어리로 묶으면, 덩어리와 나머지 $2$명까지 총 인원은 $3$명이야.
• 이 $3$명을 한 줄로 세우는 경우는 $3 \times 2 \times 1 = 6$가지야.
• 그리고 ${\text{A, B}}$ 두 명의 순서를 바꾸는 경우 $2$가지가 있어.
• 따라서, 경우의 수는 $2 \times 6 = 12$가지야.