숫자카드로 수 만들기

1️⃣ 핵심 개념

• $n$자리의 자연수를 만들 때에는 맨 앞자리에 $0$이 올 수 없어서 $0$이 포함된 것과 포함되지 않는 경우를 나눠서 생각을 해봐야 해.
• $0$이 포함되지 않는 경우를 먼저 생각해보자.
• $0$이 아닌 서로 다른 한 자리의 숫자가 각각 적힌 $n$장의 카드 중에서
• $2$장을 뽑아 만들 수 있는 두 자리의 자연수의 개수는 $n \times (n-1)$ (개)
• $3$장을 뽑아 만들 수 있는 세 자리의 자연수의 개수는 $n \times (n-1) \times (n-2)$ (개)
• 그 다음 $0$이 포함된 경우를 생각해보자.
• $0$을 포함하여 서로 다른 한 자리의 숫자가 각각 적힌 $n$장의 카드 중에서
• $2$장을 뽑아 만들 수 있는 두 자리의 자연수의 개수는 $(n-1) \times (n-1)$ (개)
• $3$장을 뽑아 만들 수 있는 세 자리의 자연수의 개수는 $(n-1) \times (n-1) \times (n-2)$ (개)

2️⃣ 개념 더 알아보기

• 서로 다른 숫자 카드에서 두 자리 수 만들기를 생각해 보자.
  • $0$이 없을 때는 첫 자리 선택이 $n$가지, 두 번째 자리는 첫 자리와 다르게 골라야 하니까 $(n-1)$가지야. 그래서 경우의 수는 $n \times (n - 1)$이 돼.
  • $0$이 포함되면 첫 자리에 올 수 있는 숫자는 $0$ 제외한 $(n-1)$가지야.
  • 두 번째 자리는 첫 자리 숫자를 뺀 나머지 카드 중에서 고르니까 다시 $(n-1)$가지야.
  • 그래서 경우의 수는 $(n-1) \times (n-1)$가 되는 거지.
• 세 자리 수 만들기도 같은 원리야.
  • $0$이 없으면 첫 자리 $n$가지, 두 번째 자리 $(n-1)$가지, 세 번째 자리 $(n-2)$가지로 곱해서 $n \times (n-1) \times (n-2)$가 돼.
  • $0$이 있으면 첫 자리 $(n-1)$가지, 두 번째 자리 $(n-1)$가지, 세 번째 자리 $(n-2)$가지니까 $(n-1) \times (n-1) \times (n-2)$가 돼.

3️⃣ 예제 살펴보기

• 예를 들어 $0$이 없는 카드 $5$장 $\{1, 2, 3, 4, 5\}$가 있을 때, 두 자리 자연수와 세 자리 자연수의 개수는 어떻게 될까?
  • 두 자리 수는 첫 자리 $5$가지, 두 번째 자리 $4$가지니까 $5 \times 4 = 20$개가 만들어져.
  • 세 자리 수는 첫 자리 $5$가지, 두 번째 자리 $4$가지, 세 번째 자리 $3$가지라서 $5 \times 4 \times 3 = 60$개가 되는 거야.
• 이번엔 $0$이 포함된 카드 $6$장 $\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$가 있을 때, 두 자리 자연수와 세 자리 자연수의 개수는 어떻게 될까?
  • 두 자리 수는 첫 자리에 올 수 있는 숫자가 $0$ 제외 $5$가지, 두 번째 자리도 첫 자리 숫자 제외한 $5$가지니까 $5 \times 5 = 25$개야.
  • 세 자리 수는 첫 자리 $5$가지, 두 번째 자리 $5$가지, 세 번째 자리 $4$가지라서 $5 \times 5 \times 4 = 100$개가 돼.
• 이렇게 카드에 $0$이 포함되었는지에 따라 경우의 수가 달라지는 걸 꼭 기억해야 해!