접선과 현이 이루는 각

1️⃣ 핵심 개념

• 접점에서 원 안쪽으로 그은 선분을 현이라고 해.
• 접선과 그 현이 이루는 각은 접점에서 만들어지는 각이야.
• 이때 원의 접선과 그 접점에서 그은 현이 이루는 각의 크기는 이 각의 내부에 있는 호에 대한 원주각의 크기와 같아.
  $\Rightarrow \angle \text{BAT} = \angle \text{BPA}$, $\angle \text{PAT}' = \angle \text{PBA}$

• 역으로 원 $\text{O}$에서 $\angle \text{BAT} = \angle \text{BPA}$이면 $\; \overleftrightarrow{\text{AT}}$는 원 $\text{O}$의 접선이야.

2️⃣ 개념 더 알아보기

• 원의 접선과 그 접점을 지나는 현이 이루는 각의 크기는 왜 그 각의 내부에 있는 호에 대한 원주각의 크기와 같을까?
  
• 위 그림에서 $\angle \text{AOB} = θ$라고 하면 $\triangle \text{OAB}$는 이등변삼각형이므로
  $\quad \angle \text{OAB} = \dfrac{1}{2} \times (180^\circ - θ) = 90^\circ - \dfrac{1}{2} θ$
  또한 접선은 반지름에 수직이므로 $\angle \text{OAT} = 90^\circ$야.
  그러면 $\angle \text{BAT} = \angle \text{OAT} - \angle \text{OAB}$
  $\hspace{2cm} = 90^\circ - \left(90^\circ - \dfrac{1}{2} θ \right) = \dfrac{1}{2} θ$
  $\angle \text{BCA}$는 원주각의 성질에 따라 중심각 $θ$의 절반이야. 즉, $\angle \text{BCA} = \dfrac{1}{2} θ$

$\quad \; \;$따라서 $\angle \text{BAT} = \angle \text{BCA}$가 성립해.

3️⃣ 예제 살펴보기

아래 그림에서 직선 $\text{PT}$가 원 $\text{O}$의 접선일 때, $x$의 값을 구하시오.

• 직선 $\text{PT}$가 원 $\text{O}$의 접선이므로 $\angle \text{PAB} = \angle \text{BPT}$가 성립해.
  따라서 $x^\circ = 74^\circ$야.