원에 외접하는 사각형의 성질

1️⃣ 핵심 개념

• 원에 외접하는 사각형은 네 꼭짓점이 모두 같은 원 위에 있을 때를 말해.

• 이렇게 원에 외접하는 사각형의 두 쌍의 대변의 길이의 합은 서로 같아.
  

• 즉, $\overline{\text{AB}} + \overline{\text{CD}} = \overline{\text{AD}} + \overline{\text{BC}}$

• 반대로 사각형의 대변의 길이의 합이 같으면 그 사각형은 원에 외접해.

• 이 성질은 원에 외접하는 사각형만 가진 특별한 특징이야.

2️⃣ 개념 더 알아보기

• 원에 외접하는 사각형에서 두 쌍의 대변의 길이의 합이 같다는 성질을 증명해보자.
  

• 원 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 길이는 같으므로
  $\qquad \overline{\text{AP}} = \overline{\text{AS}}$, $\; \overline{\text{BP}} = \overline{\text{BQ}}$, $\; \overline{\text{CQ}} = \overline{\text{CR}}$, $\; \overline{\text{DR}} = \overline{\text{DS}}$
  따라서 $\overline{\text{AB}} + \overline{\text{CD}} = (\overline{\text{AP}} + \overline{\text{BP}}) + (\overline{\text{CR}} + \overline{\text{DR}})$
  $\hspace{2.43cm} = (\overline{\text{AS}} + \overline{\text{BQ}}) + (\overline{\text{CQ}} + \overline{\text{DS}})$
  $\hspace{2.43cm} = (\overline{\text{AS}} + \overline{\text{DS}}) + (\overline{\text{BQ}} + \overline{\text{CQ}})$
  $\hspace{2.43cm} = \overline{\text{AD}} + \overline{\text{BC}}$

3️⃣ 예제 살펴보기

아래 그림에서 $\square \text{ABCD}$가 원 $\text{O}$에 외접할 때, $x$의 값을 구하시오.

• 원에 외접하는 사각형의 두 쌍의 대변의 길이의 합은 서로 같아.
  따라서 $\overline{\text{AB}} + \overline{\text{CD}} = \overline{\text{AD}} + \overline{\text{BC}}$
  $\qquad \; \; \Rightarrow 7 + x = 4 + 9$
  $\qquad \; \; \; \; \; \; \; \therefore x = 6$

• 이런 식으로 원에 외접하는 사각형의 성질을 활용하여 사각형의 길이를 구할 수 있어~😉