삼각형의 내접원

1️⃣ 핵심 개념

• 삼각형의 내접원은 삼각형 안에 있는 원으로, 삼각형의 세 변에 모두 접하는 원이야.

• 내접원의 중심을 내심이라고 부르며, 이 점은 삼각형 세 각의 이등분선이 만나는 곳이야.
  

• 위 그림에서 원 $\text{O}$는 $\triangle \text{ABC}$에 내접하고 세 점 $\text{D}$, $\text{E}$, $\text{F}$는 그 접점이야.

• $\triangle \text{ABC}$의 세 변의 길이가 $a$, $b$, $c$ 이고 내접원의 반지름의 길이가 $r$일 때,
  $\quad \; \overline{\text{AD}} = \overline{\text{AF}}$, $\; \overline{\text{BD}} = \overline{\text{BE}}$, $\; \overline{\text{CE}} = \overline{\text{CF}}$

• 각 변의 길이는 $a = y + z$, $b = x + z$, $c = x + y$ 이고, 이 세 변을 모두 더하면
  $\quad \; a + b + c = (y + z) + (x + z) + (x + y)$
  $\hspace{1.89cm} = 2(x + y + z)$

$\hspace{0.59cm}$따라서 $\triangle \text{ABC}$의 둘레의 길이는 $2(x + y + z)$야.

• 또한, 내접원의 반지름 $r$과 삼각형 $\text{ABC}$의 넓이 사이에 중요한 관계가 있어.
  $\quad \triangle \text{ABC} = \dfrac{1}{2} r (a + b + c)$

• 이렇게 삼각형의 변 길이와 내접원의 반지름만 알면 삼각형의 둘레와 넓이 모두 구할 수 있어😀

2️⃣ 개념 더 알아보기

• $\triangle \text{ABC} = \dfrac{1}{2} r (a + b + c)$가 성립하는 이유가 뭘까?
  
  위 그림에서
  $\quad \triangle \text{ABC} = \triangle \text{AOB} + \triangle \text{BOC} + \triangle \text{COA}$

$\hspace{1.51cm} = \dfrac{1}{2} cr + \dfrac{1}{2} ar + \dfrac{1}{2} br$

$\hspace{1.51cm} = \dfrac{1}{2}r (a + b + c)$

따라서 $\triangle \text{ABC} = \dfrac{1}{2} r (a + b + c)$가 성립해!

3️⃣ 예제 살펴보기

아래 그림에서 원 $\text{O}$는 $\triangle \text{ABC}$의 내접원이고 세 점 $\text{D}$, $\text{E}$, $\text{F}$는 접점일 때, $\triangle \text{ABC}$의 둘레의 길이는?

• $\overline{\text{AF}} = \overline{\text{AD}} = 4 \text{ cm}$
  $\overline{\text{BD}} = \overline{\text{BE}} = 6 \text{ cm}$
  $\overline{\text{CE}} = \overline{\text{CF}} = 6 \text{ cm}$
  따라서 $\triangle \text{ABC}$의 둘레의 길이는
  $\quad 2 (4 + 6 + 6) = 32 \;(\text{cm})$
  이야.