접선의 길이

1️⃣ 핵심 개념

• 원 밖의 한 점 $\text{P}$에서 원 $\text{O}$에 그을 수 있는 접선은 두 개가 있어.

• 이 두 접선의 접점을 각각 $\text{A}$, $\text{B}$라고 해보자.

• 점 $\text{P}$에서 접점 $\text{A}$나 $\text{B}$까지의 선분 $\text{PA}$, $\text{PB}$를 각각 접선의 길이라고 해.

• 중요한 점은 두 접선의 길이 $\overline{\text{PA}}$와 $\overline{\text{PB}}$가 항상 같다는 것이야.
  $\Rightarrow \overline{\text{PA}} = \overline{\text{PB}}$
  

• 즉, '원 밖의 한 점에서 그은 두 접선은 길이가 같다'라는 성질을 꼭 기억하자!

2️⃣ 개념 더 알아보기

• 원 $\text{O}$ 밖의 한 점 $\text{P}$에서 원 $\text{O}$에 그은 두 접선의 접점을 각각 $\text{A}$, $\text{B}$라고 하자.
• 여기서 원의 중심 $\text{O}$와 점 $\text{P}$를 잇는 선분 $\text{OP}$를 생각해보자.
• $\overline{\text{OA}}$와 $\overline{\text{OB}}$는 원의 반지름이고, 원의 접선은 그 접점을 지나는 원의 반지름과 서로 수직이야.
• 즉, $\overline{\text{OA}} \perp \overline{\text{PA}}$, $\overline{\text{OB}} \perp \overline{\text{PB}}$가 성립해.
• $\triangle \text{OPA}$와 $\triangle \text{OPB}$에서
  $\quad \overline{\text{OP}}$는 공통, $\overline{\text{OA}} = \overline{\text{OB}} \;($반지름$)$, $\angle \text{OAP} = \angle \text{OBP} = 90^\circ$
  이므로 $\triangle \text{OPA} ≡ \triangle \text{OPB} \;(\text{RHS}$ 합동$)$이야.
• 그러므로 $\overline{\text{PA}}$와 $\overline{\text{PB}}$의 길이도 같아.
• 이렇게 해서 원 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 길이가 같다는 성질이 증명 돼! 😊

3️⃣ 예제 살펴보기

다음 그림에서 두 점 $\text{A}$, $\text{B}$가 점 $\text{P}$에서 원 $\text{O}$에 그은 두 접선의 접점일 때, $x$의 값을 구하시오.

• 원 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 길이는 서로 같아.
  따라서 $\overline{\text{PA}} = \overline{\text{PB}} = 5 \text{ cm}$이므로 $x = 5$야.