현의 길이

1️⃣ 핵심 개념

• 원 안에서 두 점을 연결하는 선분을 현이라고 해.
• 한 원 또는 합동인 두 원에서 중심으로부터 같은 거리에 있는 두 현의 길이는 같아.
  $\overline{\text{OM}} = \overline{\text{ON}}$이면 $\; \overline{\text{AB}} = \overline{\text{CD}}$
• 반대로, 한 원 또는 합동인 두 원에서 길이가 같은 두 현은 원의 중심으로부터 같은 거리에 있어.
  $\overline{\text{AB}} = \overline{\text{CD}}$이면 $\; \overline{\text{OM}} = \overline{\text{ON}}$
• 즉, 현의 길이와 원 중심에서 현까지의 거리는 서로 연관되어 있다는 뜻이야.
  

2️⃣ 개념 더 알아보기

• 위 내용이 성립하는 이유를 설명해줄게!

$\quad$위 그림의 $\triangle \text{OAM}$과 $\triangle \text{OCN}$에서
$\qquad \angle \text{OMA} = \angle \text{ONC} = 90^\circ$, $\; \overline{\text{OA}} = \overline{\text{OC}} \;($반지름$)$, $\; \overline{\text{OM}} = \overline{\text{ON}}$
$\quad$이므로 $\; \triangle \text{OAM} ≡ \triangle \text{OCN} \;(\text{RHS}$ 합동$)$
$\qquad \therefore \overline{\text{AM}} = \overline{\text{CN}}$
$\quad$한편 $\overline{\text{AB}} = 2 \overline{\text{AM}}$, $\overline{\text{CD}} = 2 \overline{\text{CN}}$이므로
$\qquad \overline{\text{AB}} = \overline{\text{CD}}$

$\quad$위 그림에서 $\overline{\text{AM}} = \dfrac{1}{2} \overline{\text{AB}}$, $\; \overline{\text{CN}} = \dfrac{1}{2} \overline{\text{CD}}$
$\quad$이때 $\overline{\text{AB}} = \overline{\text{CD}}$이므로 $\; \overline{\text{AM}} = \overline{\text{CN}}$
$\quad \triangle \text{OAM}$과 $\triangle \text{OCN}$에서
$\qquad \angle \text{OMA} = \angle \text{ONC} = 90^\circ$, $\; \overline{\text{OA}} = \overline{\text{OC}} \;($반지름$)$, $\; \overline{\text{AM}} = \overline{\text{CN}}$
$\quad$이므로 $\; \triangle \text{OAM} ≡ \triangle \text{OCN} \;(\text{RHS}$ 합동$)$
$\qquad \therefore \overline{\text{OM}} = \overline{\text{ON}}$

• 추가로 아래 그림과 같이 원에 내접하는 $\triangle \text{ABC}$에서 $\overline{\text{OM}} = \overline{\text{ON}}$이면 $\overline{\text{AB}} = \overline{\text{AC}}$이므로 $\triangle \text{ABC}$는 이등변삼각형이다.
  

3️⃣ 예제 살펴보기

아래 그림에서 $x$의 값을 구하시오.

• 한 원에서 중심으로부터 같은 거리에 있는 현의 길이는 서로 같으므로
  $\quad x = 8 \;(\text{cm})$