사각형의 넓이

1️⃣ 핵심 개념

사각형의 두 대각선의 길이와 두 대각선이 이루는 각의 크기를 알 때 넓이 $S$는

$(1)$ 두 대각선이 이루는 각인 $\angle x$가 예각인 경우

$$➡ \; S=\dfrac{1}{2}ab \sin x$$

$(2)$ 두 대각선이 이루는 각인 $\angle x$가 둔각인 경우

$$➡ \; S=\dfrac{1}{2}ab \sin \,(180^\circ-x)$$

• $\sin x$ 값이 $0$이면 넓이가 $0$이 되고, $\sin(90^\circ) = 1$일 때 넓이가 최대가 돼.
• 즉, 대각선이 직각으로 만날 때 사각형 넓이가 가장 크다는 뜻이야.

2️⃣ 개념 더 알아보기

아래 그림과 같이 $\Box \text{ABCD}$ 에서 아래 그림과 같이 점 $\text{A}$, $\text{B}$, $\text{C}$, $\text{D}$를 지나면서 $\overline{\text{AC}}$, $\, \overline{\text{BD}}$에 평행한 직선을 그어 이들이 만나는 점을 각각 $\text{E}$, $\text{F}$, $\text{G}$, $\text{H}$라고 하면 사각형 $\text{EFGH}$는 평행사변형이야.

이때, $\Box \text{ABCD}$와 $\Box \text{EFGH}$의 넓이는

$$\dfrac{1}{2} \Box \text{EFGH}=\Box \text{ABCD}=\dfrac{1}{2} ab \sin x$$
임을 기억하면, 사각형의 넓이를 구하는 과정을 이해하기 좀 더 쉬워!

3️⃣ 예제 살펴보기

오른쪽 그림과 같은 $\Box \text{ABCD}$의 넓이를 구하여라.

• $\Box \text{ABCD}=\dfrac{1}{2} \times \overline{\text{AC}} \times \overline{\text{BD}} \times \sin 60^\circ \\$
  $\qquad \qquad=\dfrac{1}{2} \times 14 \times 12 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\$
  $\qquad \qquad=42 \sqrt{3}$