일반 삼각형의 높이

1️⃣ 핵심 개념

삼각형 $\text{ABC}$에서 한 변의 길이 $a$와 그 양 끝 각 $\angle \text{B}$, $\angle \text{C}$의 크기를 알 때, 높이 $h$는 다음과 같이 구할 수 있어.

$(1)$ 주어진 각이 모두 예각인 경우

• $\overline{\text{BH}}=h \tan x$, $\; \overline{\text{CH}}=h \tan y$ 이므로
  $\quad a=h \tan x+h \tan y=h(\tan x+\tan y) \\$
  $\qquad➡\; h=\dfrac{a}{\tan x+\tan y}$

$(2)$ 주어진 각 중 한 각이 둔각인 경우

• $\overline{\text{BH}}=h \tan x$, $\; \overline{\text{CH}}=h \tan y$ 이므로
  $\quad a=h \tan x-h \tan y=h(\tan x-\tan y) \\$
  $\qquad➡\; h=\dfrac{a}{\tan x-\tan y}$

2️⃣ 개념 더 알아보기

위의 두 삼각형에서

• $\tan x=\dfrac{\overline{\text{BH}}}{h} \quad➡ \quad \overline{\text{BH}}=h \tan x$

• $\tan y=\dfrac{\overline{\text{CH}}}{h} \quad ➡ \quad \overline{\text{CH}}=h \tan y$

이므로

$(1) \; \overline{\text{BC}}=\overline{\text{BH}}+\overline{\text{CH}} \quad ➡ \quad \;a=h \tan x+ h \tan y$

$(2) \; \overline{\text{BC}}=\overline{\text{BH}}-\overline{\text{CH}} \quad ➡ \quad a=h \tan x- h \tan y$

임을 알 수 있어.

• 핵심 개념 $(1)$, $(2)$의 공식을 외우기보다는 구하는 과정을 이해하고 알아두는 것이 중요해!

• $(1)$에서는
  $\qquad x=90^\circ-\angle \text{B}$
  $\qquad y=90^\circ-\angle \text{C}$

• $(2)$에서는
  $\qquad x=90^\circ-\angle \text{B}$
  $\qquad y=90^\circ-\angle \text{ACH}$
  $\qquad \; \; \; =\angle \text{C}-90^\circ \\$
  를 통해 각을 구하여 문제를 풀면 돼!

3️⃣ 예제 살펴보기

아래 그림과 같은 삼각형 $\text{ABC}$에서 $\angle \text{B}=30^\circ$, $\; \angle \text{C}=45^\circ$, $\; \overline{\text{BC}}=20$이고, $\; \overline{\text{AH}}\perp\overline{\text{BC}}$일 때, $\; \overline{\text{AH}}$의 길이를 구하여라.

• $\angle \text{BAH}=90^\circ-30^\circ=60^\circ$
  $\angle \text{CAH}=90^\circ-45^\circ=45^\circ$
• $\overline{\text{BH}}=h \tan 60^\circ=\sqrt{3} h$
  $\overline{\text{CH}}=h \tan 45^\circ= h$
• $\overline{\text{BH}}+\overline{\text{CH}}=\overline{\text{BC}}$이므로 $\quad \sqrt{3}h+h=20\\$
  $\quad \; \; \therefore h= \dfrac{20}{\sqrt{3}+1}=\dfrac{\cancel{20}^{10}(\sqrt{3}-1)}{\underbrace{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}_{\cancel{(3-1)}}}=10(\sqrt{3}-1)$