일반 삼각형의 변의 길이

1️⃣ 핵심 개념

$\triangle \text{ABC}$에서

$(1)$ 두 변의 길이와 그 끼인 각의 크기를 알 때

• $\overline{\text{AH}}=c \sin B$, $\; \overline{\text{BH}}=c \cos B$이므로
  $\overline{\text{CH}}=a-c \cos B$
  ➡$\; \overline{\text{AC}}=\sqrt{\overline{\text{AH}}^2+\overline{\text{CH}}^2}$
  $\quad \quad \; \; \; =\sqrt{(c \sin B)^2+(a-c \cos B)^2}$

$(2)$ 한 변의 길이와 그 양 끝 각의 크기를 알 때

• $\; \overline{\text{BH}}=a \sin C$, $\; \overline{\text{CH}'}=a \sin B$이므로
  ➡$\; ①$ $\overline{\text{AB}}=\dfrac{\overline{\text{BH}}}{\sin A}=\dfrac{a \sin C}{\sin A} \\$
  ➡$\; ②$ $\overline{\text{AC}}=\dfrac{\overline{\text{CH}'}}{\sin A}=\dfrac{a \sin B}{\sin A}$

2️⃣ 개념 더 알아보기

• 핵심 개념 $(1)$, $(2)$의 공식을 외우기보다는 구하는 과정을 이해하고 알아두는 것이 중요해!

• 일반 삼각형의 변의 길이를 구할 때에는 $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$의 삼각비를 이용할 수 있도록 한 꼭짓점에서 그 대변에 수선을 그어 직각삼각형을 만들면 돼.

3️⃣ 예제 살펴보기

아래 그림과 같은 $\triangle \text{ABC}$에서 $\overline{\text{AB}}=8$, $\; \overline{\text{BC}}=12$이고 $\; \angle \text{B}=60^\circ$이다. $\overline{\text{AH}} \perp \overline{\text{BC}}$일 때, $\overline{\text{AH}}$, $\; \overline{\text{AC}}$의 길이를 구하여라.

• $\overline{\text{AH}}=\overline{\text{AB}} \times \sin B=8 \times \sin 60^\circ=8 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}$
• $\overline{\text{BH}}=\overline{\text{AB}} \times \cos B=8 \times \cos 60^\circ=8 \times \dfrac{1}{2}=4$
• $\overline{\text{CH}}=\overline{\text{BC}}-\overline{\text{BH}}=12-4=8$
• $\overline{\text{AC}}=\sqrt{\overline{\text{AH}}^2+\overline{\text{CH}}^2}$
  $\quad \; \; \; =\sqrt{(4 \sqrt{3})^2+(8)^2}$
  $\quad \; \; \; =\sqrt{48+64}=4\sqrt{7}$