삼각형의 각의 이등분선

1️⃣ 핵심 개념

삼각형의 내각의 이등분선의 성질

• 삼각형 $\text{ABC}$에서 $\overline{\text{BC}}$와 $\angle \text{A}$의 이등분선의 교점을 $\text{D}$라 하면 다음이 성립해.
  $$\overline{\text{AB}} \, \Large{\text{:}} \, \normalsize{\overline{\text{AC}}} = \overline{\text{BD}} \, \Large{\text{:}} \, \normalsize{\overline{\text{CD}}}$$

삼각형의 외각의 이등분선의 성질

• 삼각형 $\text{ABC}$에서 $\angle \text{A}$의 외각의 이등분선과 $\overline{\text{BC}}$의 연장선의 교점을 $\text{D}$라 하면 다음이 성립해.

$$\overline{\text{AB}} \, \Large{\text{:}} \, \normalsize{\overline{\text{AC}}} = \overline{\text{BD}} \, \Large{\text{:}} \, \normalsize{\overline{\text{CD}}}$$

2️⃣ 개념 더 알아보기

삼각형의 내각의 이등분선의 성질 증명

• 증명

위 그림과 같이 점 $\text{C}$를 지나고 $\overline{\text{AD}}$와 평행한 직선과 $\overline{\text{AB}}$의 연장선과의 교점을 $\text{E}$라 하면
$\quad\quad \angle \text{BAD} = \angle \text{AEC}$ $($동위각$)$
$\quad\quad \angle \text{DAC} = \angle \text{ACE}$ $($엇각$)$
이 때, $\angle \text{BAD} = \angle \text{DAC}$이므로
$\quad\quad \angle \text{ACE} = \angle \text{AEC}$
그러므로 $\triangle \text{ACE}$는 이등변삼각형이고
$\triangle \text{BDA}, \triangle \text{BCE}$에서
$\quad\quad \angle \text{B}$는 공통
$\quad\quad \angle \text{BAD} = \angle \text{BEC}$ $($동위각$)$
$\quad\quad \therefore \triangle \text{BCE} \text{∽} \triangle \text{BDA}$ $(\text{AA}$ 닮음$)$
따라서 $\overline{\text{AB}}$ : $\overline{\text{AE}} = \overline{\text{BD}}$ : $\overline{\text{CD}}$이고 이등변삼각형 $\text{ACE}$에서 $\overline{\text{AE}} = \overline{\text{AC}}$이므로

$$\overline{\text{AB}} \, \Large{\text{:}} \, \normalsize{\overline{\text{AC}}} = \overline{\text{BD}} \, \Large{\text{:}} \, \normalsize{\overline{\text{CD}}}$$

삼각형의 외각의 이등분선의 성질 증명

• 증명

위 그림과 같이 점 $\text{C}$를 지나고 $\overline{\text{AD}}$와 평행이 되도록 $\overline{\text{CE}}$를 그으면
$\quad\quad \angle \text{FAD} = \angle \text{FEC}$ $($동위각$)$
$\quad\quad \angle \text{CAD} = \angle \text{ECA}$ $($엇각$)$
이 때, $\angle \text{FAD} = \angle \text{CAD}$이므로
$\quad\quad \angle \text{FEC} = \angle \text{ECA}$
그러므로 $\triangle \text{ACE}$는 이등변삼각형이고
$\triangle \text{BDA}, \triangle \text{BCE}$에서
$\quad\quad \angle \text{B}$는 공통
$\quad\quad \angle \text{BCE} = \angle \text{BDA}$ $($동위각$)$
$\quad\quad \therefore \triangle \text{BCE} \text{∽} \triangle \text{BDA}$ $( \text{AA}$ 닮음$)$
따라서 $\overline{\text{AB}}$ : $\overline{\text{AE}} = \overline{\text{BD}}$ : $\overline{\text{CD}}$이고 이등변삼각형 $\text{ACE}$에서 $\overline{\text{AE}} = \overline{\text{AC}}$이므로

$$\overline{\text{AB}} \, \Large{\text{:}} \, \normalsize{\overline{\text{AC}}} = \overline{\text{BD}} \, \Large{\text{:}} \, \normalsize{\overline{\text{CD}}}$$

3️⃣ 예제 살펴보기

예제 1

아래 그림과 같은 $\triangle \text{ABC}$에서 $\angle \text{A}$의 이등분선과 $\overline{\text{BC}}$의 교점을 $\text{D}$라 할 때, $x$의 값을 구해보자.

$\overline{\text{AB}} : \overline{\text{AC}} = \overline{\text{BD}} : \overline{\text{CD}}$이므로

$\quad\quad 10$ : $x = (20 - 12)$ : $12$
$\quad\quad 10$ : $x = 2$ : $3$
$\quad\quad \therefore \, x = 15$

예제 2

아래 그림과 같은 $\triangle \text{ABC}$에서 $\angle \text{A}$의 외각의 이등분선과 $\overline{\text{BC}}$의 연장선의 교점을 $\text{D}$라 할 때, $x$의 값을 구해보자.

$\overline{\text{AB}}$ : $\overline{\text{AC}} = \overline{\text{BD}}$ : $\overline{\text{CD}}$이므로

$\quad\quad 10$ : $4 = 15$ : $(15 - x)$
$\quad\quad 5$ : $2 = 15$ : $(15 - x)$
$\quad\quad 5x = 45$
$\quad \therefore x = 9$