삼각형의 무게중심과 넓이

1️⃣ 핵심 개념

• 삼각형의 세 중선에 의하여 나누어진 여섯 개의 삼각형의 넓이는 모두 같아.
• 즉, $\triangle{\text{ABC}}$에서 점 ${\text{G}}$가 무게중심일 때,
  

$$\triangle{\text{GAF}} = \triangle{\text{GBF}} = \triangle{\text{GBD}} = \triangle{\text{GCD}} = \triangle{\text{GCE}} = \triangle{\text{GAE}} = \dfrac{1}{6} \triangle{\text{ABC}}$$

2️⃣ 개념 더 알아보기

• 그 이유에 대해서 무게중심 성질을 이용해서 알아보자.
• $\triangle{\text{GAB}}$와 $\triangle{\text{GBD}}$에서 $\overline{\text{AG}}$ : $\overline{\text{GD}} = 2$ : $1$이므로 $\triangle{\text{GAB}}$ : $\triangle{\text{GBD}} = \overline{\text{AG}}$ : $\overline{\text{GD}} = 2$ : $1$이 돼.
• 같은 방법으로 하면, $\triangle{\text{GBC}}$ : $\triangle{\text{GCE}} = 2$ : $1$, $\triangle{\text{GCA}}$ : $\triangle{\text{GAF}} = 2$ : $1$이 될 수 있어.
• 따라서, $\triangle{\text{GAF}} = \triangle{\text{GBF}} = \triangle{\text{GBD}} = \triangle{\text{GCD}} = \triangle{\text{GCE}} = \triangle{\text{GAE}}$임을 알 수 있어.

3️⃣ 예제 살펴보기

• $\triangle{\text{ABC}}$에서 점 ${\text{G}}$가 무게중심이고, $\triangle{\text{ABC}}$의 넓이가 $36 \ {\text{cm}}^2$일 때, $\square{\text{GFBD}}$의 넓이는 어떻게 구할 수 있을까?
  

• 점 ${\text{G}}$가 무게중심이므로 세 중선으로 나뉜 $6$개의 삼각형의 넓이는 모두 같아.

• 즉, 한 삼각형의 넓이는 $36 \times \dfrac{1}{6} = 6 \ {\text{cm}}^2$이 돼.

• 따라서, $\square{\text{GFBD}} = \triangle{\text{GFB}} + \triangle{\text{GBD}} = 6 + 6 = 12 \ {\text{cm}}^2$로 구할 수 있어.