삼각형의 중선과 무게중심

1️⃣ 핵심 개념

• 삼각형의 중선은 삼각형에서 한 꼭짓점과 그 대변의 중점을 이은 선분을 뜻해.
  

• 삼각형의 한 중선은 그 삼각형의 넓이를 이등분한다는 성질이 있어.

• 즉, $\overline{\text{AD}}$가 $\triangle{\text{ABC}}$의 중선이라고 하면 $\triangle{\text{ABD}} = \triangle{\text{ACD}} = \dfrac{1}{2}\triangle{\text{ABC}}$이야.

• 삼각형 세 중선은 한 점에서 만나고, 그 점을 삼각형의 무게중심이라고 해.
  

• 삼각형의 무게중심은 세 중선의 길이를 각각 꼭짓점으로부터 각각 $2 : 1$ 로 나누는 성질이 있어.

• 즉, $\triangle{\text{ABC}}$의 무게중심을 ${\text{G}}$라고 하면 $\overline{\text{AG}} : \overline{\text{GD}} = \overline{\text{BG}} : \overline{\text{GE}} = \overline{\text{CG}} : \overline{\text{GF}} = 2 : 1$이 되는거야.

2️⃣ 개념 더 알아보기

• 이등변삼각형의 무게중심, 외심, 내심은 모두 꼭지각의 이등분선 위에 있어.
• 정삼각형은 무게중심, 외심, 내심이 모두 일치하는 것도 알아두면 좋아.

3️⃣ 예제 살펴보기

• 점 ${\text{G}}$를 $\triangle{\text{ABC}}$의 무게중심이고, $\overline{\text{AG}} = 18$이라고 할 때, $\overline{\text{AD}}$의 길이는 어떻게 구할 수 있을까?
  

• 점 ${\text{G}}$는 $\triangle{\text{ABC}}$의 무게중심이므로 $\overline{\text{AG}} : \overline{\text{GD}} = 2 : 1$이 돼.

• 즉, $\overline{\text{AD}} : \overline{\text{AG}} = 3 : 2$이고 $\overline{\text{AD}} : 18 = 3 : 2$야.

• 따라서, $\overline{\text{AD}} = 27$로 구할 수 있어.