평행선 사이의 선분의 길이의 비의 응용

1️⃣ 핵심 개념

• $\overline{\text{AC}}$와 $\overline{\text{BD}}$의 교점을 ${\text{E}}$라고 할 때, $\overline{\text{AB}} /\mkern-4mu/ \overline{\text{EF}} /\mkern-4mu/ \overline{\text{DC}}$이고 $\overline{\text{AB}} = a$, $\overline{\text{DC}} = b$라고 하자.
  

• $\overline{\text{BF}} : \overline{\text{FC}} = a : b$라는 비례식을 얻을 수 있어.

• 또한, $\overline{\text{EF}}$의 길이는 $\dfrac{ab}{a+b}$으로 구할 수 있어.

2️⃣ 개념 더 알아보기

• 위 내용을 $\text{AA}$ 닮음 관계를 통해 알아보자.

• $\triangle{\text{AEB}} \text{∽} \triangle{\text{CED}}$ ($\text{AA}$닮음)이므로 $\overline{\text{AE}} : \overline{\text{CE}} = \overline{\text{AB}} : \overline{\text{CD}} = a : b$가 돼.
• 또, $\triangle{\text{CAB}} \text{∽} \triangle{\text{CEF}}$ ($\text{AA}$닮음)이므로 $\overline{\text{BF}} : \overline{\text{FC}} = \overline{\text{AE}} : \overline{\text{EC}} = a : b$가 돼.
• 따라서, $\overline{\text{BF}} : \overline{\text{FC}} = a : b$임을 알 수 있어.
• 그 다음, $\overline{\text{EF}}$의 길이에 대해서 얘기해보자.
• $\triangle{\text{CAB}} \text{∽} \triangle{\text{CEF}}$ ($\text{AA}$닮음)이므로 $\overline{\text{CA}} : \overline{\text{CE}} = \overline{\text{AB}} : \overline{\text{EF}}$야.
• 즉, $(a+b) : b = a : \overline{\text{EF}}$에서 $(a+b)\overline{\text{EF}} = ab$ 이고, $\overline{\text{EF}} = \dfrac{ab}{a+b}$임을 알 수 있어.

3️⃣ 예제 살펴보기

• $\overline{\text{AB}} /\mkern-4mu/ \overline{\text{EF}} /\mkern-4mu/ \overline{\text{DC}}$에서, $\overline{\text{AB}} = 6$, $\overline{\text{DC}} = 10$일 때 $\overline{\text{EF}}$의 길이는 어떻게 구할 수 있을까?
  

• 먼저, $\triangle{\text{AEB}} \text{∽} \triangle{\text{CED}}$ ($\text{AA}$닮음)이므로 $\overline{\text{AE}} : \overline{\text{CE}} = \overline{\text{AB}} : \overline{\text{CD}} = 6 : 10 = 3 : 5$이 돼.

• $\triangle{\text{CAB}} \text{∽} \triangle{\text{CEF}}$ ($\text{AA}$닮음)이므로 $\overline{\text{EF}} : \overline{\text{AB}} = \overline{\text{CE}} : \overline{\text{CA}} = 5 : 8$가 돼.

• 즉, $\overline{\text{EF}} : 6 = 5 : 8$이고 $\overline{\text{EF}} = \dfrac{15}{4}$으로 구할 수 있어.