평행선 사이의 선분의 길이의 비

1️⃣ 핵심 개념

• 세 개 이상의 평행선이 다른 두 직선과 만날 때, 평행선 사이에 생기는 선분의 길이의 비는 같아.

• 평행선 $l /\mkern-4mu/ m /\mkern-4mu/ n$인 세 직선 $l, m, n$ 과 두 직선 $p, q$의 교점을 각각 ${\text{A, B, C}}$ 와 ${\text{D, E, F}}$ 이라고 하자.
  

• 그러면 $\overline{\text{AB}} : \overline{\text{BC}} = \overline{\text{DE}} : \overline{\text{EF}}$ 가 성립해.

2️⃣ 개념 더 알아보기

• 평행선 $l /\mkern-4mu/ m /\mkern-4mu/ n$인 세 직선 $l, m, n$ 과 두 직선 $p, q$의 교점을 각각 ${\text{A, B, C}}$ 와 ${\text{D, E, F}}$ 이라 하고, $\overline{\text{AF}}$과 직선 $m$의 교점을 ${\text{P}}$라고 하자.
  

• 삼각형 $\triangle {\text{ACF}}$ 에서 선분 $\overline{\text{BP}} /\mkern-4mu/ \overline{\text{CF}}$ 이므로, $\overline{\text{AB}} : \overline{\text{BC}} = \overline{\text{AP}} : \overline{\text{PF}}$ 가 성립해 (➀).

• 또, 삼각형 $\triangle {\text{FDA}}$ 에서 $\overline{\text{EP}} /\mkern-4mu/ \overline{\text{DA}}$ 이므로, $\overline{\text{AP}} : \overline{\text{PF}} = \overline{\text{DE}} : \overline{\text{EF}}$ 가 성립해 (➁).

• ➀, ➁에 의하여, $\overline{\text{AB}} : \overline{\text{BC}} = \overline{\text{DE}} : \overline{\text{EF}}$ 가 성립해.

• 즉, 평행선 사이의 선분 길이의 비가 같다는 결론을 얻을 수 있어.

• 반대로, $\overline{\text{AB}} : \overline{\text{BC}} = \overline{\text{DE}} : \overline{\text{EF}}$ 인 경우, 무조건 세 직선 $l, m, n$이 평행하다고는 할 수 없어.

3️⃣ 예제 살펴보기

• 평행선 $l /\mkern-4mu/ m /\mkern-4mu/ n$인 세 직선 $l, m, n$ 과 두 직선 $p, q$의 교점을 각각 ${\text{A, B, C}}$ 와 ${\text{D, E, F}}$ 이라고 하자.

• 만약 $\overline{\text{AB}} = 4$, $\overline{\text{BC}} = 10$, 그리고 $\overline{\text{DE}} = 6$ 이면, $\overline{\text{EF}}$ 의 길이는 어떻게 구할 수 있을까?
  

• 평행선 사이의 길이 비가 같으므로, $\overline{\text{AB}} : \overline{\text{BC}} = \overline{\text{DE}} : \overline{\text{EF}}$ 를 사용해보자.

• 즉, $4 : 10 = 6 : \overline{\text{EF}}$ 이고, $4 \times \overline{\text{EF}} = 60$

• 따라서 $\overline{\text{EF}}$ 의 길이는 $15$임을 알 수 있어.