평행선 사이의 선분의 길이의 비와 응용

1️⃣ 핵심 개념

• 세 개 이상의 평행선이 다른 두 직선과 만날 때, 평행선 사이에 생기는 선분의 길이의 비는 같아.

• 평행선 $l \, /\mkern-4mu/ \, m \, /\mkern-4mu/ \, n$인 세 직선 $l, m, n$ 과 두 직선 $p, q$의 교점을 각각 ${\text{A, B, C}}$ 와 ${\text{D, E, F}}$ 이라고 하자.
  

• 그러면 $\overline{\text{AB}}$ : $\overline{\text{BC}} = \overline{\text{DE}}$ : $\overline{\text{EF}}$ 가 성립해.

증명

• 평행선 $l \, /\mkern-4mu/ \, m \, /\mkern-4mu/ \, n$인 세 직선 $l, m, n$ 과 두 직선 $p, q$의 교점을 각각 ${\text{A, B, C}}$ 와 ${\text{D, E, F}}$ 이라 하고, $\overline{\text{AF}}$과 직선 $m$의 교점을 ${\text{P}}$라고 하자.
  

• 삼각형 $\triangle {\text{ACF}}$ 에서 선분 $\overline{\text{BP}} \, /\mkern-4mu/ \, \overline{\text{CF}}$ 이므로, $\overline{\text{AB}}$ : $\overline{\text{BC}} = \overline{\text{AP}}$ : $\overline{\text{PF}}$ 가 성립해. $(➀)$

• 또, 삼각형 $\triangle {\text{FDA}}$ 에서 $\overline{\text{EP}} \, /\mkern-4mu/ \, \overline{\text{DA}}$ 이므로, $\overline{\text{AP}}$ : $\overline{\text{PF}} = \overline{\text{DE}}$ : $\overline{\text{EF}}$ 가 성립해. $(➁)$

• $➀$, $➁$에 의하여, $\overline{\text{AB}}$ : $\overline{\text{BC}} = \overline{\text{DE}}$ : $\overline{\text{EF}}$ 가 성립해.

• 즉, 평행선 사이의 선분 길이의 비가 같다는 결론을 얻을 수 있어.

• 반대로, $\overline{\text{AB}}$ : $\overline{\text{BC}} = \overline{\text{DE}}$ : $\overline{\text{EF}}$ 인 경우, 무조건 세 직선 $l, m, n$이 평행하다고는 할 수 없어.

2️⃣ 개념 더 알아보기

평행선 사이의 선분의 길이의 비의 응용

• $\overline{\text{AC}}$와 $\overline{\text{BD}}$의 교점을 ${\text{E}}$라고 할 때, $\overline{\text{AB}} \, /\mkern-4mu/ \, \overline{\text{EF}} \, /\mkern-4mu/ \, \overline{\text{DC}}$이고 $\overline{\text{AB}} = a$, $\overline{\text{DC}} = b$라고 하자.
  

• $\overline{\text{BF}}$ : $\overline{\text{FC}} = a$ : $b$ 라는 비례식을 얻을 수 있어.

• 또한, $\overline{\text{EF}}$의 길이는 $\dfrac{ab}{a+b}$으로 구할 수 있어.

증명

• 위 내용을 $\text{AA}$ 닮음 관계를 통해 알아보자.

• $\triangle{\text{AEB}} \text{∽} \triangle{\text{CED}}$ ($\text{AA}$닮음)이므로 $\overline{\text{AE}}$ : $\overline{\text{CE}} = \overline{\text{AB}}$ : $\overline{\text{CD}} = a : b$가 돼.
• 또, $\triangle{\text{CAB}} \text{∽} \triangle{\text{CEF}}$ ($\text{AA}$닮음)이므로 $\overline{\text{BF}}$ : $\overline{\text{FC}} = \overline{\text{AE}}$ : $\overline{\text{EC}} = a$ : $b$가 돼.
• 따라서, $\overline{\text{BF}}$ : $\overline{\text{FC}} = a$ : $b$임을 알 수 있어.
• 그 다음, $\overline{\text{EF}}$의 길이에 대해서 얘기해보자.
• $\triangle{\text{CAB}} \text{∽} \triangle{\text{CEF}}$ $( \text{AA}$닮음$)$이므로 $\overline{\text{CA}}$ : $\overline{\text{CE}} = \overline{\text{AB}}$ : $\overline{\text{EF}}$야.
• 즉, $(a+b)$ : $b = a$ : $\overline{\text{EF}}$에서 $(a+b)\overline{\text{EF}} = ab$ 이고, $\overline{\text{EF}} = \dfrac{ab}{a+b}$임을 알 수 있어.

3️⃣ 예제 살펴보기

예제 1

• 평행선 $l \, /\mkern-4mu/ \, m \, /\mkern-4mu/ \, n$인 세 직선 $l, m, n$ 과 두 직선 $p, q$의 교점을 각각 ${\text{A, B, C}}$ 와 ${\text{D, E, F}}$ 이라고 하자.

• 만약 $\overline{\text{AB}} = 4$, $\overline{\text{BC}} = 10$, 그리고 $\overline{\text{DE}} = 6$ 이면, $\overline{\text{EF}}$ 의 길이는 어떻게 구할 수 있을까?
  

• 평행선 사이의 길이 비가 같으므로, $\overline{\text{AB}}$ : $\overline{\text{BC}} = \overline{\text{DE}}$ : $\overline{\text{EF}}$ 를 사용해보자.

• 즉, $4$ : $10 = 6$ : $\overline{\text{EF}}$ 이고, $4 \times \overline{\text{EF}} = 60$

• 따라서 $\overline{\text{EF}}$ 의 길이는 $15$임을 알 수 있어.

예제 2

• $\overline{\text{AB}} \, /\mkern-4mu/ \, \overline{\text{EF}} \, /\mkern-4mu/ \, \overline{\text{DC}}$에서, $\overline{\text{AB}} = 6$, $\overline{\text{DC}} = 10$일 때 $\overline{\text{EF}}$의 길이는 어떻게 구할 수 있을까?
  

• 먼저, $\triangle{\text{AEB}} \text{∽} \triangle{\text{CED}}$ $(\text{AA}$ 닮음$)$이므로 $\overline{\text{AE}}$ : $\overline{\text{CE}} = \overline{\text{AB}}$ : $\overline{\text{CD}} = 6$ : $10 = 3$ : $5$이 돼.

• $\triangle{\text{CAB}} \text{∽} \triangle{\text{CEF}}$ $(\text{AA}$ 닮음$)$이므로 $\overline{\text{EF}}$ : $\overline{\text{AB}} = \overline{\text{CE}}$ : $\overline{\text{CA}} = 5$ : $8$가 돼.

• 즉, $\overline{\text{EF}}$ : $6 = 5$ : $8$이고 $\overline{\text{EF}} = \dfrac{15}{4}$으로 구할 수 있어.