삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질

1️⃣ 핵심 개념

성질 1

• 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분은 나머지 한 변과 평행하고, 그 길이는 나머지 한 변의 길이의 $\dfrac{1}{2}$과 같아.
  

• 즉, $\triangle{\text{ABC}}$에서 $\overline{\text{AB}}, \overline{\text{AC}}$의 중점을 각각 ${\text{M}}$, ${\text{N}}$이라고 하면
  $$\overline{\text{BC}} \, /\mkern-4mu/ \, \overline{\text{MN}}, \ \overline{\text{MN}} = \dfrac{1}{2} \overline{\text{BC}}$$

• 이 때, 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질을 중점 연결 정리라고 하기도 해.

성질 2

• 삼각형의 한 변의 중점을 지나고 다른 한 변에 평행한 직선은 나머지 한 변의 중점을 지나.
  

• $\triangle{\text{ABC}}$에서 $\overline{\text{AB}}$의 중점 ${\text{M}}$을 지나고 $\overline{\text{BC}}$에 평행한 직선과 $\overline{\text{AC}}$와의 교점을 ${\text{N}}$이라고 하면
  $$\overline{\text{AN}} = \overline{\text{NC}}$$

2️⃣ 개념 더 알아보기

성질 1 증명

• 두 쌍의 대응변의 길이 비가 같고, 그 끼인 각의 크기가 같다 즉, ${\text{SAS}}$닮음 조건을 활용하면 그 이유를 알 수 있어.
• $\triangle{\text{ABC}} \text{∽} \triangle{\text{AMN}}$ $({\text{SAS}}$닮음$)$이므로 $\angle{\text{ABC}} = \angle{\text{AMN}}$이 돼.
• 따라서, $\overline{\text{BC}} \, /\mkern-4mu/ \, \overline{\text{MN}}$가 성립 돼.
• 또, ${\text{M}}$, ${\text{N}}$은 각각 중점이므로 닮음비가 $1$ : $2$가 됨을 알 수 있어.
• 따라서, $\overline{\text{MN}}$ : $\overline{\text{BC}} = 1$ : $2$이므로 $\overline{\text{MN}} = \dfrac{1}{2} \overline{\text{BC}}$가 돼.

성질 2 증명

• 두 쌍의 대응각의 크기가 같은 두 삼각형 즉, ${\text{AA}}$닮음 조건에 의해 설명해보자.
• $\angle{\text{A}}$는 공통이고 $\overline{\text{MN}} \, /\mkern-4mu/ \, \overline{\text{BC}}$이면 $\angle{\text{AMN}} = \angle{\text{ABC}}$ $($동위각$)$ 이므로 $\triangle{\text{AMN}} = \triangle{\text{ABC}}$ $({\text{AA}}$닮음$)$이 돼.
• 즉, $\overline{\text{AN}}$ : $\overline{\text{NC}} = \overline{\text{AM}}$ : $\overline{\text{MB}}$ 이므로 $\overline{\text{AN}} = \overline{\text{NC}}$임을 알 수 있어.

3️⃣ 예제 살펴보기

예제 1

• $\triangle{\text{ABC}}$에서 $\overline{\text{AB}}, \overline{\text{AC}}$의 중점을 각각 ${\text{M}}$, ${\text{N}}$이라고 하자.
• $\overline{\text{BC}}=12 \ {\text{cm}}$라면, $\overline{\text{MN}}$의 길이는 어떻게 구할 수 있을까?
• $\overline{\text{MN}} = \dfrac{1}{2} \times 12 = 6 \ {\text{cm}}$야.

예제 2

• $\triangle{\text{ABC}}$에서 $\overline{\text{AB}}$의 중점 ${\text{M}}$을 지나고 $\overline{\text{BC}}$에 평행한 직선과 $\overline{\text{AC}}$와의 교점을 ${\text{N}}$이라고 하자.
  

• $\overline{\text{AC}} = 18 \ {\text{cm}}$, $\overline{\text{MN}} = 7 \ {\text{cm}}$라고 할 때, $\overline{\text{BC}}, \overline{\text{NC}}$의 길이를 각각 어떻게 구할 수 있을까?

• $\overline{\text{BC}} = 2 \ \overline{\text{MN}} = 2 \times 7 = 14 \ {\text{cm}}$가 돼.

• $\overline{\text{AN}} = \overline{\text{NC}}$이므로 $\overline{\text{NC}} = \dfrac{1}{2} \overline{\text{AC}} = \dfrac{1}{2} \times 18 = 9 \ {\text{cm}}$가 돼.