삼각형에서 평행선 찾기

1️⃣ 핵심 개념

• $\triangle{\text{ABC}}$에서 두 점 ${\text{D}}, {\text{E}}$가 각각 $\overline{\text{AB}}$, $\overline{\text{AC}}$ 또는 그 연장선 위의 점이라고 하자.

• $\overline{\text{AB}} : \overline{\text{AD}} = \overline{\text{AC}} : \overline{\text{AE}}$ 이면 $\overline{\text{BC}} /\mkern-4mu/ \overline{\text{DE}}$가 성립해.
  

• 또, $\overline{\text{AD}} : \overline{\text{DB}} = \overline{\text{AE}} : \overline{\text{EC}}$ 이면 $\overline{\text{BC}} /\mkern-4mu/ \overline{\text{DE}}$가 성립해.
  

2️⃣ 개념 더 알아보기

• 두 선분이 평행한 이유를 닮음을 통해 알아보자.
• $\triangle{\text{ABC}}$에서 두 점 ${\text{D}}, {\text{E}}$가 각각 $\overline{\text{AB}}$, $\overline{\text{AC}}$ 위의 점이라고 하자.
• $\triangle{\text{ABC}}$와 $\triangle{\text{ADE}}$에서 $\angle{\text{A}}$는 공통, $\overline{\text{AB}} : \overline{\text{AD}} = \overline{\text{AC}} : \overline{\text{AE}}$ 이므로 $\triangle{\text{ABC}} \text{∽} \triangle{\text{ADE}}$ (${\text{SAS}}$ 닮음) 이야.
• 따라서, $\angle{\text{ABC}} = \angle{\text{ADE}}$ 이므로 평행선의 성질에 의하여 $\overline{\text{BC}} /\mkern-4mu/ \overline{\text{DE}}$가 성립해.

3️⃣ 예제 살펴보기

• $\triangle {\text{ABC}}$에서 점${\text{D}}$는 $\overline{\text{AB}}$ 위에, 점${\text{E}}$는 $\overline{\text{AC}}$ 위에 있는 점이라고 하자.
  

• $\overline{\text{AB}} = 12$, $\overline{\text{AD}} = 8$, $\overline{\text{AC}} = 15$, $\overline{\text{AE}} = 10$라고 할 때, $\overline{\text{BC}}$와 $\overline{\text{DE}}$는 평행하다고 할 수 있을까?

• $\overline{\text{AB}} : \overline{\text{AD}} = 12 : 8 = 3 : 2$이고, $\overline{\text{AC}} : \overline{\text{AE}} = 15 : 10 = 3 : 2$이므로 대응변의 길이 비가 같고, $\angle{\text{A}}$는 공통이므로 $\triangle{\text{ABC}} \text{∽} \triangle{\text{ADE}}$ (${\text{SAS}}$ 닮음) 이야.

• 따라서, $\angle{\text{ABC}} = \angle{\text{ADE}}$ 이므로 평행선의 성질에 의하여 $\overline{\text{BC}} /\mkern-4mu/ \overline{\text{DE}}$ 라고 말할 수 있어.