삼각형에서 평행선에 의하여 생기는 선분의 길이의 비

'삼각형에서 평행선에 의하여 생기는 선분의 길이의 비'의 개념을 설명해줘

1️⃣ 핵심 개념

  • △ABC\triangle{\text{ABC}}에서 BC‾\overline{\text{BC}}에 평행한 직선과 AB‾\overline{\text{AB}}, AC‾\overline{\text{AC}} 또는 그 연장선의 교점을 각각 D,E{\text{D}}, {\text{E}}라고 하자.

  • AB‾:AD‾=AC‾:AE‾=BC‾:DE‾\overline{\text{AB}} : \overline{\text{AD}} = \overline{\text{AC}} : \overline{\text{AE}} = \overline{\text{BC}} : \overline{\text{DE}}가 성립해.
    평행선선분길이비1.png

  • 또, AD‾:DB‾=AE‾:EC‾\overline{\text{AD}} : \overline{\text{DB}} = \overline{\text{AE}} : \overline{\text{EC}}가 성립해.
    평행선선분길이비2.png

  • 즉, 평행선에 의해 생긴 선분들의 길이 비는 서로 같다는 성질이 있어.

2️⃣ 개념 더 알아보기

  • 선분 비가 성립하는 이유를 닮음을 통해 알아보자.
  • △ABC\triangle{\text{ABC}}에서 BC‾\overline{\text{BC}}에 평행한 직선과 AB‾\overline{\text{AB}}, AC‾\overline{\text{AC}}의 교점을 각각 D,E{\text{D}}, {\text{E}}라고 하자.
  • △ABC\triangle{\text{ABC}}와 △ADE\triangle{\text{ADE}}에서 ∠A\angle{\text{A}}는 공통, ∠ABC=∠ADE\angle{\text{ABC}} = \angle{\text{ADE}} (동위각) 이므로 △ABC∽△ADE\triangle{\text{ABC}} \text{∽} \triangle{\text{ADE}} (AA{\text{AA}} 닮음) 이야.
  • △ABC\triangle{\text{ABC}}에서 BC‾\overline{\text{BC}}에 평행한 직선과 AB‾\overline{\text{AB}}, AC‾\overline{\text{AC}}의 연장선의 교점을 각각 D,E{\text{D}}, {\text{E}}라고 하자.
  • △ABC\triangle{\text{ABC}}와 △ADE\triangle{\text{ADE}}에서 ∠BAC=∠DAE\angle{\text{BAC}} = \angle{\text{DAE}} (맞꼭지각), ∠ABC=∠ADE\angle{\text{ABC}} = \angle{\text{ADE}} (엇각) 이므로 △ABC∽△ADE\triangle{\text{ABC}} \text{∽} \triangle{\text{ADE}} (AA{\text{AA}} 닮음) 이야.
  • 따라서, AB‾:AD‾=AC‾:AE‾=BC‾:DE‾\overline{\text{AB}} : \overline{\text{AD}} = \overline{\text{AC}} : \overline{\text{AE}} = \overline{\text{BC}} : \overline{\text{DE}}가 성립해.
  • 이 때, AD‾:DB‾≠DE‾:BC‾\overline{\text{AD}} : \overline{\text{DB}} \neq \overline{\text{DE}} : \overline{\text{BC}}임을 주의해야 해.

3️⃣ 예제 살펴보기

  • △ABC\triangle{\text{ABC}}에서 BC‾\overline{\text{BC}}에 평행한 직선과 AB‾\overline{\text{AB}}, AC‾\overline{\text{AC}}의 교점을 각각 D,E{\text{D}}, {\text{E}}라고 하자.
    평행선선분길이비(예제).png

  • AB‾=12 cm\overline{\text{AB}} = 12 \ {\text{cm}}이고 AD‾=8 cm\overline{\text{AD}} = 8 \ {\text{cm}}, BC‾=15 cm\overline{\text{BC}} = 15 \ {\text{cm}}라면, DE‾\overline{\text{DE}}의 길이는 어떻게 구할 수 있을까?

  • 평행선에 의해 AD‾:AB‾=DE‾:BC‾=8:12=2:3\overline{\text{AD}} : \overline{\text{AB}} = \overline{\text{DE}} : \overline{\text{BC}} = 8 : 12 = 2 : 3임을 알 수 있어.

  • 즉, DE‾:15=2:3\overline{\text{DE}} : 15 = 2 : 3 이므로 3×DE‾=15×2=303 \times \overline{\text{DE}} = 15 \times 2 = 30, DE‾=10 cm\overline{\text{DE}} = 10 \ {\text{cm}}야.

평행선이 삼각형의 두 변을 나누는 비율이 같은 이유는 무엇일까?
삼각형에서 평행선이 만들어 내는 길이의 비를 실생활에서 어디에 활용할 수 있을까?
만약 평행선이 없으면, 삼각형의 선분 길이 비를 어떻게 알 수 있을까?

이어서 질문하기

  • '개념(익히기)' 풀기 Enter

  • '삼각형에서 평행선에 의하여 생기는 선분의 길이의 비'의 특성에 대해 조금 더 자세히 설명해줘

  • 평행선이 삼각형의 두 변을 나누는 비율이 같은 이유는 무엇일까?

  • 삼각형에서 평행선이 만들어 내는 길이의 비를 실생활에서 어디에 활용할 수 있을까?

  • 만약 평행선이 없으면, 삼각형의 선분 길이 비를 어떻게 알 수 있을까?

  • favicon[EBS 수학의 답] 평행선과 선분의 길이의 비 - 삼각형에서 평행선 사이의 선분의 길이의 비

  • favicon[중등인강/중2 수학] 삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비 - 수박씨닷컴 장계환 선생님