삼각형에서 평행선에 의하여 생기는 선분의 길이의 비

1️⃣ 핵심 개념

• $\triangle{\text{ABC}}$에서 $\overline{\text{BC}}$에 평행한 직선과 $\overline{\text{AB}}$, $\overline{\text{AC}}$ 또는 그 연장선의 교점을 각각 ${\text{D}}, {\text{E}}$라고 하자.

• $\overline{\text{AB}}$ : $\overline{\text{AD}} = \overline{\text{AC}}$ : $\overline{\text{AE}} = \overline{\text{BC}}$ : $\overline{\text{DE}}$가 성립해.
  

• 또, $\overline{\text{AD}}$ : $\overline{\text{DB}} = \overline{\text{AE}}$ : $\overline{\text{EC}}$가 성립해.
  

• 즉, 평행선에 의해 생긴 선분들의 길이 비는 서로 같다는 성질이 있어.

2️⃣ 개념 더 알아보기

• 선분 비가 성립하는 이유를 닮음을 통해 알아보자.
• $\triangle{\text{ABC}}$에서 $\overline{\text{BC}}$에 평행한 직선과 $\overline{\text{AB}}$, $\overline{\text{AC}}$의 교점을 각각 ${\text{D}}, {\text{E}}$라고 하자.
• $\triangle{\text{ABC}}$와 $\triangle{\text{ADE}}$에서 $\angle{\text{A}}$는 공통, $\angle{\text{ABC}} = \angle{\text{ADE}}$ (동위각) 이므로 $\triangle{\text{ABC}} \text{∽} \triangle{\text{ADE}}$ (${\text{AA}}$ 닮음) 이야.
• $\triangle{\text{ABC}}$에서 $\overline{\text{BC}}$에 평행한 직선과 $\overline{\text{AB}}$, $\overline{\text{AC}}$의 연장선의 교점을 각각 ${\text{D}}, {\text{E}}$라고 하자.
• $\triangle{\text{ABC}}$와 $\triangle{\text{ADE}}$에서 $\angle{\text{BAC}} = \angle{\text{DAE}}$ (맞꼭지각), $\angle{\text{ABC}} = \angle{\text{ADE}}$ (엇각) 이므로 $\triangle{\text{ABC}} \text{∽} \triangle{\text{ADE}}$ (${\text{AA}}$ 닮음) 이야.
• 따라서, $\overline{\text{AB}} : \overline{\text{AD}} = \overline{\text{AC}}$ : $\overline{\text{AE}} = \overline{\text{BC}}$ : $\overline{\text{DE}}$가 성립해.
• 이 때, $\overline{\text{AD}}$ : $\overline{\text{DB}} \neq \overline{\text{DE}}$ : $\overline{\text{BC}}$임을 주의해야 해.

3️⃣ 예제 살펴보기

• $\triangle{\text{ABC}}$에서 $\overline{\text{BC}}$에 평행한 직선과 $\overline{\text{AB}}$, $\overline{\text{AC}}$의 교점을 각각 ${\text{D}}, {\text{E}}$라고 하자.
  

• $\overline{\text{AB}} = 12 \ {\text{cm}}$이고 $\overline{\text{AD}} = 8 \ {\text{cm}}$, $\overline{\text{BC}} = 15 \ {\text{cm}}$라면, $\overline{\text{DE}}$의 길이는 어떻게 구할 수 있을까?

• 평행선에 의해 $\overline{\text{AD}}$ : $\overline{\text{AB}} = \overline{\text{DE}}$ : $\overline{\text{BC}} = 8$ : $12 = 2$ : $3$임을 알 수 있어.

• 즉, $\overline{\text{DE}}$ : $15 = 2$ : $3$ 이므로 $3 \times \overline{\text{DE}} = 15 \times 2 = 30$, $\overline{\text{DE}} = 10 \ {\text{cm}}$야.