직각삼각형의 닮음

1️⃣ 핵심 개념

• $\angle{\text{A}} = 90^\circ$인 직각삼각형 ${\text{ABC}}$의 꼭짓점 ${\text{A}}$에서 빗변 ${\text{BC}}$에 내린 수선의 발을 ${\text{D}}$라고 하자.

• 우리는 $\triangle{\text{ABC}}$, $\triangle{\text{DBA}}$, $\triangle{\text{DAC}}$ 이 세 삼각형에서 닮음 관계를 찾을 수 있어.

• 첫 번째는, $\overline{\text{AB}}^2 = \overline{\text{BD}} \times \overline{\text{BC}}$
  

• 두 번째는, $\overline{\text{AC}}^2 = \overline{\text{CD}} \times \overline{\text{CB}}$
  

• 세 번째는, $\overline{\text{AD}}^2 = \overline{\text{BD}} \times \overline{\text{CD}}$
  

• 마지막으로, $\overline{\text{AB}} \times \overline{\text{AC}} = \overline{\text{AD}} \times \overline{\text{BC}}$
  

2️⃣ 개념 더 알아보기

• 첫 번째 닮음 관계부터 알아보자.
• $\triangle{\text{ABC}}$와 $\triangle{\text{DBA}}$에서 $\angle{\text{BAC}} = \angle{\text{BDA}} = 90^\circ$ 이고 $\angle{\text{B}}$는 공통이므로 $\triangle{\text{ABC}} {\text{∽}} \triangle{\text{DBA}}$ (${\text{AA}}$닮음)
• 즉, $\overline{\text{AB}} : \overline{\text{DB}} = \overline{\text{BC}} : \overline{\text{BA}}$ 이므로 $\overline{\text{AB}}^2 = \overline{\text{BD}} \times \overline{\text{BC}}$임을 알 수 있어.
• 두 번째 닮음 관계를 알아보자.
• $\triangle{\text{ABC}}$와 $\triangle{\text{DAC}}$에서 $\angle{\text{BAC}} = \angle{\text{ADC}} = 90^\circ$ 이고 $\angle{\text{C}}$는 공통이므로 $\triangle{\text{ABC}} {\text{∽}} \triangle{\text{DAC}}$ (${\text{AA}}$닮음)
• 즉, $\overline{\text{BC}} : \overline{\text{AC}} = \overline{\text{AC}} : \overline{\text{DC}}$ 이므로 $\overline{\text{AC}}^2 = \overline{\text{CD}} \times \overline{\text{CB}}$임을 알 수 있어.
• 세 번째 닮음 관계를 알아보자.
• $\triangle{\text{DBA}}$와 $\triangle{\text{DAC}}$에서 $\angle{\text{BDA}} = \angle{\text{ADC}} = 90^\circ$ 이고
• $\angle{\text{ABD}} + \angle{\text{BAD}} = 90^\circ$ 이고 $\angle{\text{CAD}} + \angle{\text{BAD}} = 90^\circ$ 이므로 $\angle{\text{ABD}} = \angle{\text{CAD}}$
• 위에 의하여, $\triangle{\text{DBA}} {\text{∽}} \triangle{\text{DAC}}$ (${\text{AA}}$닮음)
• 즉, $\overline{\text{BD}} : \overline{\text{AD}} = \overline{\text{AD}} : \overline{\text{CD}}$ 이므로 $\overline{\text{AD}}^2 = \overline{\text{BD}} \times \overline{\text{CD}}$임을 알 수 있어.
• 마지막 닮음 관계를 알아보자.
• $\triangle{\text{ABC}}$의 넓이를 구해보면 $\dfrac{1}{2} \times \overline{\text{AB}} \times \overline{\text{AC}} = \dfrac{1}{2} \times \overline{\text{AD}} \times \overline{\text{BC}}$ 이므로 $\overline{\text{AB}} \times \overline{\text{AC}} = \overline{\text{AD}} \times \overline{\text{BC}}$ 임을 알 수 있어.

3️⃣ 예제 살펴보기

• $\angle{\text{A}} = 90^\circ$인 직각삼각형 ${\text{ABC}}$의 꼭짓점 ${\text{A}}$에서 빗변 ${\text{BC}}$에 내린 수선의 발을 ${\text{D}}$라고 하자.
  

• 여기서 $\overline{\text{BD}} = 16 \ {\text{cm}}$, $\overline{\text{CD}} = 9 \ {\text{cm}}$라고 할 때, $\overline{\text{AB}}, \overline{\text{AC}}, \overline{\text{AD}}$의 길이는 각각 어떻게 구할 수 있을까?

• $\overline{\text{AB}}^2 = \overline{\text{BD}} \times \overline{\text{BC}} = 16 \times 25 = 400$ 이므로 $\overline{\text{AB}} = 20 \ {\text{cm}}$야.

• $\overline{\text{AC}}^2 = \overline{\text{CD}} \times \overline{\text{CB}} = 9 \times 25 = 225$ 이므로 $\overline{\text{AC}} = 15 \ {\text{cm}}$야.

• $\overline{\text{AD}}^2 = \overline{\text{BD}} \times \overline{\text{CD}} = 16 \times 9 = 144$ 이므로 $\overline{\text{AD}} = 12 \ {\text{cm}}$야.