입체도형에서 닮음의 성질

1️⃣ 핵심 개념

• 한 입체도형을 일정한 비율로 확대하거나 축소한 도형이 다른 입체도형과 모양과 크기가 같을 때, 이 두 입체도형은 서로 닮은 관계에 있다 또는 서로 닮은 도형이라고 말해.
• 닮은 두 입체도형에서 대응하는 모서리의 길이의 비는 일정해.
• 또, 대응하는 면은 닮은 도형이야.
• 닮음비가 $m : n$이면 겉넓이의 비는 $m^2 : n^2$이고, 부피의 비는 $m^3 : n^3$이야.

2️⃣ 개념 더 알아보기

• 입체도형에서 닮음인 두 도형의 닮음비가 $m : n$이면 겉넓이의 비는 $m^2 : n^2$이 되는 이유는 다음과 같아.
• 그림과 같이 한 모서리의 길이가 각각 $ma, na,$인 두 정육면체의 겉넓이를 구해보자.
• 정육면체 겉넓이는 한 면의 넓이의 $6$배이기 때문에, 두 정육면체의 넓이는 $6 \times (ma)^2=6m^2a^2, \ 6 \times (na)^2=6n^2a^2$이 되는 걸 알 수 있어.
• 따라서, 두 정사각형의 넓이비는 $6m^2a^2 : 6n^2a^2 = m^2 : n^2$이 돼.
• 위 내용에 의해 우리는 겉넓이비가 닮음비의 제곱이 된다는 것을 알 수 있어.
• 입체도형에서 닮음인 두 도형의 닮음비가 $m : n$이면 부피의 비는 $m^3 : n^3$이 되는 이유는 다음과 같아.
• 그림과 같이 한 모서리의 길이가 각각 $ma, na,$인 두 정육면체의 부피를 구해보자.
• 정육면체 부피는 한 모서리 길이의 세제곱이기 때문에, 두 정육면체의 부피는 $(ma)^3=m^3a^3, \ (na)^3=n^3a^3$이 되는 걸 알 수 있어.
• 따라서, 두 정사각형의 부피비는 $m^3a^3 : n^3a^3 = m^3 : n^3$이 돼.
• 위 내용에 의해 우리는 부피의 비가 닮음비의 세제곱이 된다는 것을 알 수 있어.

3️⃣ 예제 살펴보기

• 닮은 두 입체도형의 가로 길이가 $3$, 다른 도형의 대응하는 가로 길이가 $6$ 이라고 할 때, 두 도형의 겉넓이의 비와 부피의 비는 각각 어떻게 될까?
• 그러면 두 도형의 닮음 비는 $3 : 6 = 1 : 2$가 돼.
• 겉넓이비는 $1^2 : 2^2 = 1 : 4$가 되고, 큰 도형의 겉넓이는 작은 도형의 겉넓이의 $4$배임을 알 수 있어.
• 부피의 비는 $1^3 : 2^3 = 1 : 8$이 되고, 큰 도형의 부피는 작은 도형의 부피의 $8$배가 돼.