평면도형에서 닮음의 성질

1️⃣ 핵심 개념

• 닮은 두 평면도형에서의 성질은 다음과 같아.
• 대응하는 변의 길이의 비는 일정해.
• 대응하는 각의 크기는 각각 같아.
• 닮음비가 $m : n$이면 넓이의 비는 $m^2 : n^2$이야.

2️⃣ 개념 더 알아보기

• 평면도형에서 닮음인 두 도형의 닮음비가 $m : n$이면 넓이의 비는 $m^2 : n^2$이 되는 이유는 다음과 같아.
  

• 그림과 같이 한 변의 길이가 각각 $ma, na$인 두 정사각형 ${\text{ABCD}}$와 ${\text{EFGH}}$에서 넓이를 구해보자.

• 정사각형 넓이는 한 변 길이의 제곱이기 때문에, 두 정사각형의 넓이는 $(ma)^2=m^2a^2, (na)^2=n^2a^2$이 되는 걸 알 수 있어.

• 따라서, 두 정사각형의 넓이비는 $m^2a^2 : n^2a^2 = m^2 : n^2$이 돼.

• 위 내용에 의해 우리는 넓이비가 닮음비의 제곱이 된다는 것을 알 수 있어.

3️⃣ 예제 살펴보기

• 예를 들어, 닮음비가 $2 : 3$인 두 삼각형 $\triangle {\text{ABC}}$ 와 $\triangle {\text{DEF}}$에서 다음을 구해보자.
  

• $\overline{\text{AB}} = 4 \ {\text{cm}}$이고 $\triangle {\text{ABC}}$ 의 넓이가 $12 \ {\text{cm}}^2$라고 할 때, $\overline{\text{DE}}$의 길이와 $\triangle {\text{DEF}}$의 넓이는 어떻게 될까?

• 대응변인 $\overline{\text{AB}}$ 와 $\overline{\text{DE}}$ 의 길이 비는 $2 : 3$ 이므로 $\overline{\text{DE}} = \dfrac{3}{2} \times 4 = 6 \ {\text{cm}}$ 가 돼.

• 그리고 이 두 삼각형의 넓이비는 $2^2 : 3^2 = 4 : 9$ 이므로 $\triangle {\text{DEF}}$ 의 넓이는 $\dfrac{9}{4} \times 12 = 27 \ {\text{cm}}^2$로 구할 수 있어.