평행사변형이 되는 조건

1️⃣ 핵심 개념

• 사각형 ${\text{ABCD}}$에서 평행사변형이 되는 조건 $5$가지는 다음과 같아.
• 이 조건들 중 하나라도 만족하면 그 사각형은 평행사변형이야.

1. 두 쌍의 대변이 각각 평행할 때
   

$$\overline{\text{AB}} /\mkern-4mu/ \overline{\text{CD}} \quad \text{그리고} \quad \overline{\text{BC}} /\mkern-4mu/ \overline{\text{DA}}$$

2. 두 쌍의 대변이 각각 길이가 같을 때
   

$$\overline{\text{AB}} = \overline{\text{CD}} \quad \text{그리고} \quad \overline{\text{BC}} = \overline{\text{DA}}$$

5. 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같을 때
   

$$\angle {\text{A}} = \angle {\text{C}}, \angle {\text{B}} = \angle {\text{D}}$$

4. 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분할 때
   

$$\overline{\text{AO}} = \overline{\text{OC}} \quad \text{그리고} \quad \overline{\text{BO}} = \overline{\text{OD}}$$ (여기서 ${\text{O}}$는 대각선 $\overline{\text{AC}}$와 $\overline{\text{BD}}$의 교점)

5. 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같을 때
   

$$\overline{\text{AB}} /\mkern-4mu/ \overline{\text{CD}} \quad \text{그리고} \quad \overline{\text{AB}} = \overline{\text{CD}}$$

2️⃣ 개념 더 알아보기

• 조건5가 성립할 수 있는 이유는 다음과 같아.
• $\overline{\text{AD}} = \overline{\text{BC}}$ 이고
• $\overline{\text{AD}} /\mkern-4mu/ \overline{\text{BC}}$이므로 엇각의 성질에 의해 $\angle{\text{DAC}} = \angle{\text{BCA}}$
• $\overline{\text{AC}}$는 공통
• 위에 의하여 $\triangle{\text{ABC}} \equiv \triangle{\text{CDA}}$ (${\text{SAS}}$합동)이 돼.
• 즉, $\angle{\text{BAC}} = \angle{\text{DCA}}$이므로 $\overline{\text{AB}} /\mkern-4mu/ \overline{\text{DC}}$
• 따라서, 두 쌍의 대변이 평행하므로 평행사변형임을 알 수 있어.

3️⃣ 예제 살펴보기

• 사각형 ${\text{ABCD}}$에서 $\overline{\text{AB}} /\mkern-4mu/ \overline{\text{DC}}$이고 $\overline{\text{AB}} = \overline{\text{DC}}$라고 하면 이는 평행사변형일까?
• 이 조건은 평행사변형 조건 중 하나인 한 쌍의 대변이 평행하고 길이가 같다.에 해당해.
• 즉, 사각형 ${\text{ABCD}}$는 평행사변형이 돼.
• 또 다른 예로, 사각형 ${\text{ABCD}}$에서 대각선 $\overline{\text{AC}}$와 $\overline{\text{BD}}$가 교점 ${\text{O}}$에서 각각 $\overline{\text{AO}} = \overline{\text{OC}}$ 그리고 $\overline{\text{BO}} = \overline{\text{OD}}$라고 하면 이는 평행사변형일까?
• 이는 평행사변형 조건 중 하나인 두 대각선은 서로 다른 것을 이등분한다.에 해당 돼.
• 즉, 사각형 ${\text{ABCD}}$는 평행사변형이 돼.
• 이런 식으로 조건을 확인하면 평행사변형인지 판단이 가능해.