삼각형의 외심과 내심의 활용

1️⃣ 핵심 개념

• 점 ${\text{O}}$가 $\triangle{\text{ABC}}$의 외심일 때, 다음의 경우가 성립해.

• 첫째, $\angle {\text{BOC}} = 2 \angle {\text{A}}$야.
  

• 둘째, $\angle {\text{x}} + \angle {\text{y}} + \angle {\text{z}} = 90^\circ$가 성립해.
  

• 점 ${\text{I}}$가 $\triangle{\text{ABC}}$의 내심일 때, 다음의 경우가 성립해.

• 첫째, $\angle {\text{BIC}} = 90^\circ + \dfrac{1}{2} \angle {\text{A}}$야.
  

• 둘째, $\angle {\text{x}} + \angle {\text{y}} + \angle {\text{z}} = 90^\circ$가 성립해.
  

• 셋째, $\triangle{\text{ABC}}$의 내접원의 반지름의 길이를 ${\text{r}}$이라고 할 때, 삼각형의 넓이를 구하는 공식은 다음과 같아.

• $\triangle{\text{ABC}} = \dfrac{1}{2} \times {\text{r}} \times (\overline{\text{AB}} + \overline{\text{BC}} + \overline{\text{CA}})$
  

2️⃣ 개념 더 알아보기

• 외심 첫 번째 경우는 중학교 1학년 2학기에서 배운 외각의 성질(즉, 한 외각의 크기는 그와 이웃하지 않는 다른 두 내각의 크기의 합과 같다.)로부터 알 수 있어.
• $(ⅰ)$ 외심 성질에 의해, $\triangle{\text{OAB}}$와 $\triangle{\text{OAC}}$는 이등변삼각형이 돼.
  $(ⅱ)$ 외각의 성질에 의해 $\angle{\text{BOD}} = \angle{\text{BAO}} + \angle{\text{ABO}}$ 이고 $\angle{\text{COD}} = \angle{\text{CAO}} + \angle{\text{ACO}}$ 이므로 $\angle {\text{BOC}} = 2 \angle {\text{A}}$임을 알 수 있어.

3️⃣ 예제 살펴보기

• 삼각형 $\text{ABC}$에서 외심 $\text{O}$가 있을 때, $\angle \text{A} = 40^\circ$라면, $\angle \text{BOC}$ 의 크기는 어떻게 될까?

• 외심에서의 각도 성질에 따라 $\angle \text{BOC} = 2 \times 40^\circ = 80^\circ$가 돼. 이걸 이용해 원의 중심에서 생기는 각도를 쉽게 알 수 있어.
  

• 내심 $\text{I}$가 있는 삼각형에서 $\angle \text{A} = 60^\circ$라면, $\angle \text{BIC}$ 의 크기는 어떻게 될까?

• 내심에서의 각도 성질에 따라 $\angle \text{BIC} = 90^\circ + \dfrac{1}{2} \times 60^\circ = 90^\circ + 30^\circ = 120^\circ$가 되지. 이 성질은 내심을 중심으로 하는 각도 계산에 활용돼.
  

• 이 때, 삼각형 $\text{ABC}$의 세 변 길이가 각각 $5$, $6$, $7$이고 내접원의 반지름 $r = 2$라면, 넓이는 $\dfrac{1}{2} \times 2 \times (5 + 6 + 7) = 1 \times 18 = 18$이야. 이렇게 내심 반지름과 변 길이 합을 이용해 넓이를 쉽게 구할 수 있어.