삼각형의 외심과 내심의 활용

1️⃣ 핵심 개념

점 O가 삼각형 ABC의 외심일 때, 다음의 경우가 성립해.

• 첫째, $\angle {\text{BOC}} = 2 \angle {\text{A}}$야.
  

• 둘째, $\angle x + \angle y + \angle z = 90^\circ$가 성립해.
  

점 I가 삼각형 ABC의 내심일 때, 다음의 경우가 성립해.

• 첫째, $\angle {\text{BIC}} = 90^\circ + \dfrac{1}{2} \angle {\text{A}}$야.
  

• 둘째, $\angle x + \angle y + \angle z = 90^\circ$가 성립해.
  

• 셋째, $\triangle{\text{ABC}}$의 내접원의 반지름의 길이를 ${\text{r}}$이라고 할 때, 삼각형의 넓이를 구하는 공식은 다음과 같아.
  

• $\triangle{\text{ABC}} = \dfrac{1}{2} \times r \times (\overline{\text{AB}} + \overline{\text{BC}} + \overline{\text{CA}})$

2️⃣ 개념 더 알아보기

• 외심 첫 번째 경우는 중학교 1학년 2학기에서 배운 외각의 성질(즉, 한 외각의 크기는 그와 이웃하지 않는 다른 두 내각의 크기의 합과 같다.)로부터 알 수 있어.
• $(ⅰ)$ 외심 성질에 의해, $\triangle{\text{OAB}}$와 $\triangle{\text{OAC}}$는 이등변삼각형이 돼.
  $(ⅱ)$ 외각의 성질에 의해 $\angle{\text{BOD}} = \angle{\text{BAO}} + \angle{\text{ABO}}$ 이고 $\angle{\text{COD}} = \angle{\text{CAO}} + \angle{\text{ACO}}$ 이므로 $\angle {\text{BOC}} = 2 \angle {\text{A}}$임을 알 수 있어.

3️⃣ 예제 살펴보기

1. 아래 그림과 같이 점 $\text{O}$는 $\triangle \text{ABC}$의 외심이고 $\angle \text{A} = 40^\circ$이다. 이때 $\angle \text{BOC}$ 의 크기를 구하여라.
   

$\qquad \therefore \, \angle \text{BOC} = 2 \angle \text{A}$
$\phantom{\qquad \therefore \, \angle\text{BOC}}=2 \times 40^\circ=80^\circ$

2. 아래 그림과 같이 점 $\text{I}$는 $\triangle \text{ABC}$의 내심이고 $\angle \text{A}=60^\circ$이다. 이때 $\angle \text{BIC}$ 의 크기를 구하여라.
   

$\qquad \therefore \, \angle \text{BIC} =90^\circ+ \dfrac{1}{2} \, \angle \text{A}$

$\phantom{\qquad \therefore \, \angle\text{BIC}}=90^\circ+ \dfrac{1}{2} \times 60^\circ$

$\phantom{\qquad \therefore \, \angle\text{BIC}}=120^\circ$

3. 아래 그림과 같이 점 $\text{I}$는 $\triangle \text{ABC}$의 내심이고, $\overline{\text{AB}}=8 \ \text{cm}$, $\, \overline{\text{BC}}=10 \ \text{cm}$, $\, \overline{\text{AC}}=6 \ \text{cm}$이다. $\triangle \text{ABC}$의 넓이를 구하여라.
   

내접원의 반지름의 길이 $r=2 \ \text{cm}$이므로
$\qquad \therefore \, \triangle{\text{ABC}} = \dfrac{1}{2} \times r \times (\overline{\text{AB}} + \overline{\text{BC}} + \overline{\text{CA}})$

$\phantom{\qquad \therefore \, \triangle{\text{ABC}}}= \dfrac{1}{2} \times 2 \times (8 + 10 + 6)$

$\phantom{\qquad \therefore \, \triangle{\text{ABC}}}= 24 \ \text{cm}^2$