삼각형의 외접원과 외심

1️⃣ 핵심 개념

• 삼각형의 외접원이란, 한 다각형의 모든 꼭짓점이 한 원 위에 있을 때를 말해.

• 외접원의 중심을 외심이라고 해.
  

• 삼각형의 세 변의 수직이등분선은 한 점 ${\text{O}}$에서 만나. 이 점 ${\text{O}}$가 $\triangle{\text{ABC}}$의 외심이야.

• 삼각형의 외심에서 세 꼭짓점까지의 거리는 모두 같아. 여기서 이 거리가 바로 외접원의 반지름의 길이가 돼.

• 즉, 외심 ${\text{O}}$에서 각 꼭짓점 $\text{A}$, $\text{B}$, $\text{C}$까지의 거리 $\overline{\text{OA}} = \overline{\text{OB}} = \overline{\text{OC}}$ 가 성립해.

2️⃣ 개념 더 알아보기

• 모든 삼각형은 하나의 외접원과 외심을 가져.
  

• 위 그림에서 $\overline{\text{OD}}$, $\overline{\text{OE}}$, $\overline{\text{OF}}$가 삼각형 세 변의 수직이등분선일 때,
  $\triangle{\text{AOD}} \equiv \triangle{\text{BOD}}$ $({\text{SAS}}$합동$)$
  $\triangle{\text{BOE}} \equiv \triangle{\text{COE}}$ $({\text{SAS}}$합동$)$
  $\triangle{\text{COF}} \equiv \triangle{\text{AOF}}$ $({\text{SAS}}$합동$)$이 성립해.

• 따라서, $\overline{\text{OA}} = \overline{\text{OB}} = \overline{\text{OC}}$가 되는 점 ${\text{O}}$가 외심임을 알 수 있어.😊

3️⃣ 예제 살펴보기

• 삼각형 ${\text{ABC}}$에서 $\overline{\text{OA}} = 5 \; {\text{cm}}$, $\overline{\text{OB}} = 5 \; {\text{cm}}$, $\overline{\text{OC}} = 5 \; {\text{cm}}$라면 점${\text{O}}$에서 꼭짓점 ${\text{A}}$, ${\text{B}}$, ${\text{C}}$까지의 거리가 같으므로, 점 ${\text{O}}$를 중심으로 하고 반지름이 $5 \; {\text{cm}}$인 원은 이 삼각형의 외접원임을 알 수 있고, 여기서 점 ${\text{O}}$가 외심이 돼.
• 이 방법은 삼각형의 세 꼭짓점이 모두 원 위에 있을 때만 가능하므로, 외심은 꼭짓점과 원 사이의 관계를 이해하는 데 중요한 역할을 해.