직각삼각형의 합동 조건의 활용

1️⃣ 핵심 개념

• 직각삼각형에서 합동 조건은 크게 ${\text{RHA}}$ 합동과 ${\text{RHS}}$ 합동이 있어.
• 각의 이등분선 위의 한 점에서 그 각을 이루는 두 변까지의 거리가 같다는 성질이 있어.
• 또, 각을 이루는 두 변에서 같은 거리에 있는 점은 그 각의 이등분선 위에 있다는 성질이 있어.
• 이 성질과 직각삼각형의 합동 조건을 같이 쓰면, 도형에서 길이나 각을 더 쉽게 찾을 수 있어.

2️⃣ 개념 더 알아보기

• 먼저 각의 이등분선의 성질을 증명해 볼게.
  

• $\triangle{\text{AOP}}$와 $\triangle{\text{BOP}}$에서
  $$\angle{\text{PAO}} = \angle{\text{PBO}} = 90^\circ \cdots {㉠}\\ \overline{\text{OP}}는 \ 공통 \cdots {㉡}\\ \angle{\text{AOP}} = \angle{\text{BOP}} \cdots {㉢}$$ $㉠, ㉡, ㉢$에 의하여 $\triangle{\text{AOP}} \equiv \triangle{\text{BOP}}$ (${\text{RHA}}$ 합동)

• 따라서, $\angle{\text{XOP}} = \angle{\text{YOP}}$이면 $\overline{\text{PA}} = \overline{\text{PB}}$임을 알 수 있어.

• 반대로 각을 이루는 두 변에서 같은 거리에 있는 점 ${\text{P}}$는 위와 같은 합동 조건을 통해 이등분선 위에 있다는 것을 증명할 수 있어.
  

• $\triangle{\text{AOP}}$와 $\triangle{\text{BOP}}$에서
  $$\angle{\text{PAO}} = \angle{\text{PBO}} = 90^\circ \cdots {㉠}\\ \overline{\text{OP}}는 \ 공통 \cdots {㉡}\\ \overline{\text{AP}} = \overline{\text{BP}} \cdots {㉢}$$ $㉠, ㉡, ㉢$에 의하여 $\triangle{\text{AOP}} \equiv \triangle{\text{BOP}}$ (${\text{RHS}}$ 합동)

• 따라서, $\overline{\text{PA}} = \overline{\text{PB}}$이면 $\angle{\text{AOP}} = \angle{\text{BOP}}$임을 알 수 있어.

• 이 성질은 직각삼각형의 합동 조건인 RHA와 RHS 합동을 통해 도형의 길이와 각도를 증명하거나 구할 때 아주 유용해.

• 예를 들어, 두 직각삼각형에서 한 변과 그에 맞는 각이 같으면 합동임을 이용해 미지의 길이나 각도를 구할 수 있고, 이때 각의 이등분선의 성질로 거리 관계를 쉽게 정리할 수 있어.

3️⃣ 예제 살펴보기

• 삼각형 ${\text{ABC}}$에서 $\angle {\text{C}} = 90^\circ$이고, $\overline{\text{AD}}$는 $\angle {\text{A}}$의 이등분선이라고 하자.
  

• 점 ${\text{D}}$에서 변 $\overline{\text{AB}}$에 내린 수선의 발이 ${\text{E}}$라고 할 때, $\triangle {\text{ADE}}$와 $\triangle {\text{ADC}}$를 살펴보자.

• 여기서 $\angle {\text{AED}} = \angle {\text{ACD}} = 90^\circ$이고, $\overline{\text{AD}}$는 두 삼각형에 공통변이므로, 두 삼각형은 ${\text{RHA}}$ 합동이라는 것을 알 수 있어.

• 따라서, $\overline{\text{DE}} = \overline{\text{DC}} = 3 \; {\text{cm}}$라는 것과 $\overline{\text{AE}} = \overline{\text{AC}} = 7 \; {\text{cm}}$ 결과를 알 수 있어.

• 이렇게 합동 조건과 각의 이등분선 성질을 함께 활용하면 복잡한 문제도 단계별로 쉽게 해결할 수 있어.