이차함수의 식 구하기(4)

1️⃣ 핵심 개념

• 그래프 위의 서로 다른 세 점을 알 때, 이차함수 식은 어떻게 구하는지 알아볼까?
  그래프 위의 다른 세 점 $(x_1, y_1),\; (x_2, y_2),\; (x_3, y_3)$을 알 때,
  $①$ 이차함수 식을 $y = ax^2+bx + c$로 놓고,
  $②$ 위의 식에 세 점 $(x_1, y_1),\; (x_2, y_2),\; (x_3, y_3)$의 좌표를 대입하여,
  $\;\;\;\;$상수 $a,\; b,\; c$의 값을 구해.
• $x$축과의 두 교점과 다른 한 점을 알 때, 이차함수 식은 어떻게 구하는지 알아볼까?
  $x$축과의 두 교점 $(α,0),\; (β,0)$과 그래프 위의 한 점 $(x_1, y_1)$을 알 때,
  풀이 1) $①$ 이차함수 식을 $y = ax^2+bx + c$로 놓고,
  $\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ $②$ 위의 식에 세 점 $(α,0),\; (β,0),\;(x_1, y_1)$의 좌표를 대입하여,
  $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$연립방정식을 이용하여 상수 $a,\; b,\; c$의 값을 구해.
  풀이 2) $①$ 이차함수 식을 $y = a(x-α)(x-β)$로 놓고,
  $\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ $②$ 위의 식에 점 $(x_1, y_1)$의 좌표를 대입하여, 상수 $a$의 값을 구해.

2️⃣ 예제 살펴보기

• Q. $x$축과의 두 점 $(1, 0)$, $(4, 0)$이고 점 $(2, 6)$을 지나는 이차함수 식은?
  풀이 1) 구하려는 이차함수 식을 $y = ax^2+bx + c$ 두자.
  점 $(1, 0)$을 대입하면, $0 = a+b+ c \cdots ①$
  점 $(4, 0)$을 대입하면, $0 = 16a+4b+c \cdots ②$
  점 $(2, 6)$을 대입하면, $6 = 4a+2b+ c \cdots ③$
  ($③-①$)하면, $3a+b=6 \cdots ④$
  ($②-①$)하면, $15a+3b=0,\; 5a+b=0 \cdots ⑤$
  ($⑤-④$)하면, $2a=-6, \; a=-3, \; b=15,\;c=-12$
  구하려던 이차함수 식은 $y= -3x^2+15x-12$야.
  풀이 2) 구하려는 이차함수 식을 $y = a(x - 1)(x - 4)$ 두자.
  점 $(2, 6)$을 대입하면, $6 = a(2 - 1)(2 - 4) = -2a,\; a= -3$ 야.
  $y = -3(x - 1)(x - 4)$가 돼.
  전개하면, $y = -3x^2 + 15x - 12$로 쓸 수도 있어.