이차함수 $y = ax^2 + bx + c$의 그래프

1️⃣ 핵심 개념

• 이차함수 $y = ax^2 + bx + c$의 그래프는 $y = a \left( x + \dfrac{b}{2a} \right)^2 - \dfrac{b^2-4ac}{4a}$ 바꿀 수 있어.
• 꼭짓점의 좌표는 $\left(-\dfrac{b}{2a}, - \dfrac{b^2-4ac}{4a}\right)$야.
• 축의 방정식은 $x=-\dfrac{b}{2a}$로 구할 수 있어.
• $y$축과의 교점은 $( 0 , c )$ 야.
• $x$축과의 교점은 $y=0$ 일 때의 $x$의 값을 구해.

2️⃣ 개념 더 알아보기

• 이차함수 $y = ax^2 + bx + c$에서,
  $\; y= ax^2 + bx + c \\ \\ \;\;\;\;= a \left( x^2 + \dfrac{b}{a}x \right) + c$ ($x^2,x$의 계수를 $a$로 묶어)
  $\;\;\;\; = a \left( x^2 + \dfrac{b}{a}x+\dfrac{b^2}{4a^2}-\dfrac{b^2}{4a^2}\right) + c$ (괄호 안의 $\left(\dfrac{x \small{의\;계수}}{2}\right)^2$을 더하고 빼)
  $\;\;\;\;= a \left( x + \dfrac{b}{2a} \right)^2 - \dfrac{b^2-4ac}{4a}$

• 이 모든 과정은 그래프의 위치와 모양을 파악하는 데 중요한 역할을 해.

3️⃣ 예제 살펴보기

• Q. 이차함수$y = 2x^2 - 4x + 1$의 그래프의 꼭짓점의 좌표, 축의 방정식은?
  풀이) $y = 2 \left( x^2 - 2x \right) + 1$
  $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = 2(x^2 - 2x+1-1)+1$
  $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; =2(x - 1)^2-2+ 1$
  $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = 2(x - 1)^2 - 1$
  정답은 꼭짓점은 $(1, -1)$이고, 축의 방정식은 $x = 1$야.