연립일차방정식의 해의 개수와 그래프의 위치 관계

1️⃣ 핵심 개념

• 연립일차방정식은 두 개 이상의 일차방정식을 동시에 만족하는 해를 찾는 문제야.
• 두 일차함수의 그래프는 직선이 되고, 이 두 직선의 위치 관계에 따라 해의 개수가 결정돼.
• 두 직선이 서로 다른 한 점에서 만나면 해가 1개 있어.
• 두 직선이 완전히 겹치면 해가 무수히 많아.
• 두 직선이 평행해서 만나지 않으면 해가 없어.
• 즉, 해의 개수는 직선의 위치 관계(한 점에서 만남, 겹침, 평행)에 따라 0, 1, 무한대 중 하나야.

2️⃣ 개념 더 알아보기

• 두 일차함수의 그래프가 서로 다른 한 점에서 만나는 경우는 두 직선의 기울기가 다를 때야.
  기울기가 다르면 두 직선은 한 점에서 꼭 만나서 해가 1개인 연립방정식이 돼.
• 두 직선이 완전히 겹친다는 것은 두 방정식이 같은 직선을 나타낸다는 뜻이야.
  이때는 모든 점이 공통해가 되어 해가 무한대가 돼.
• 두 직선이 평행하다는 것은 기울기는 같지만 $y$절편이 다르다는 뜻이야.
  이 경우는 두 직선이 만나지 않으므로 해가 없어.
• 이 세 가지 경우는 기울기와 $y$절편의 비교로 쉽게 판단할 수 있어.
• 따라서 연립일차방정식의 해의 개수는 두 직선의 기울기와 $y$절편 관계를 보면 바로 알 수 있어.

3️⃣ 예제 살펴보기

• 예를 들어, 두 방정식 $y = 2x + 3$ 과 $y = -x + 1$ 을 생각해 보자.
  첫 번째 직선의 기울기는 $2$, 두 번째 직선의 기울기는 $-1$이야.
  기울기가 다르니까 두 직선은 한 점에서 만나고, 해가 1개 있어.
• 또 다른 예로, $y = 3x + 2$ 와 $y = 3x - 1$ 을 보자.
  기울기는 둘 다 $3$으로 같지만 $y$절편이 다르지?
  그래서 두 직선은 평행해서 만나지 않아, 해가 없어.
• 마지막으로 $y = -x + 4$ 와 $2y = -2x + 8$ 을 보자.
  두 번째 식을 $y = -x + 4$ 로 바꾸면 첫 번째와 같아.
  이 경우 두 직선이 완전히 겹치니까 해가 무한대야.