연립일차방정식의 해와 그래프

1️⃣ 핵심 개념

• 연립일차방정식은 두 개 이상의 일차방정식을 동시에 만족하는 값을 찾는 문제야.
• 여기서 '해'는 두 방정식을 모두 만족하는 숫자 쌍, 즉 $x$와 $y$의 값이야.
• 두 일차방정식의 그래프는 직선이고, 이 두 직선이 만나는 점의 좌표가 바로 연립방정식의 해야.
• 즉, 연립일차방정식의 해는 두 직선의 교점 좌표와 같다.
• 한 좌표평면에 두 일차방정식의 그래프를 그리고 난 후, 앞에서 배운 연립방정식의 풀이를 이용해서 해를 구하면 그것이 바로 위의 두 일차방정식의 그래프의 교점이 되는 거야.
• 만약 두 직선이 평행하면 해가 없고, 한 직선 위에 다른 직선이 있으면 해가 무수히 많아져.

2️⃣ 개념 더 알아보기

• 두 일차방정식의 그래프가 교점에서 만난다는 것은 두 방정식의 좌표값이 동시에 참이라는 뜻이야.
• 예를 들어 첫 번째 방정식이 $y = 2x + 1$이고 두 번째가 $y = -x + 4$라면, 교점의 좌표 $(x, y)$는 두 식을 만족하는 값이 돼.
• 두 식을 같다고 놓고 $2x + 1 = -x + 4$를 풀면, $3x = 3$이 되어 $x = 1$이 나와.
• 이때 $y$값은 첫 번째 식에 $x = 1$을 넣으면 $y = 2(1) + 1 = 3$이야.
• 따라서 교점은 $(1, 3)$이고, 이 좌표가 연립일차방정식의 해가 되는 거지.
• 이렇게 해를 구하는 방법은 두 직선의 방정식을 서로 같게 놓고 계산하는 것에서 시작돼.
• 만약 두 직선이 평행하면 $y = ax + b$와 $y = ax + c$ 형태로 $b \neq c$가 되어 교점이 없고, 해가 없다는 뜻이야.
• 한 직선이 다른 직선 위에 있을 때는 두 식이 같은 식이라 해가 무수히 많아져.

3️⃣ 예제 살펴보기

• 문제: 연립일차방정식
  $$\begin{cases} y = 2x + 1 \\ y = -x + 4 \end{cases}$$
  의 해를 구해보자.

• 먼저 두 식의 우변을 같다고 놓고 계산해.
  $$2x + 1 = -x + 4$$
  여기서 $2x + x = 4 - 1$이므로 $3x = 3$, $x = 1$이야.

• 이제 $x = 1$을 첫 번째 식에 넣어서 $y$를 구해보면,
  $y = 2 \times 1 + 1 = 3$이 돼.

• 따라서 두 직선의 교점은 $(1, 3)$이고, 이것이 연립방정식의 해야.

• 이 결과는 그래프를 그렸을 때 두 직선이 정확히 $(1, 3)$에서 만난다는 것을 의미해.