직선의 방정식

1️⃣ 핵심 개념

일차방정식 $x = p, y = q$의 그래프

• $x = p$ ($p$는 $0$이 아닌 상수)의 그래프
  $x = p$의 그래프는 점 $(p, 0)$을 지나고 $y$축에 평행한 $x$축에 수직인 직선이야.

• $y = q$ ($q$는 $0$이 아닌 상수)의 그래프
  $y = q$의 그래프는 점 $(0, q)$을 지나고 $x$축에 평행한 $y$축에 수직인 직선이야.

직선의 방정식

• $x, y$값의 범위가 모든 수라고 하면, 일차방정식 $ax + by + c = 0 (a, b, c$는 상수, $a \ne 0, b \ne 0)$의 해는 무수히 많아. 이 무수히 많은 각 해 $(x, y)$를 좌표로 하는 점을 좌표평면 위에 나타내면 직선 형태의 그래프가 생기게 돼. 그래서 이런 방정식을 직선의 방정식라고 해.

2️⃣ 개념 더 알아보기

위에 말한 $x=p, y=q$는 직선의 방정식에서 특별한 경우인데 좀 더 살펴보자.

• $x = p$
  이 방정식을 다르게 나타내보면 $x + 0 \times y = p$인 거잖아? 이 식은 y값에 뭘 넣어도 $0$과 곱해져서 사라지기 때문에 $x$ 값은 $p$로 고정되는거지. 그래서 해 $(x, y)$에서 $x$는 $p$로 고정되고 $y$의 범위는 모든 수라고 하면 점 $(p, 0)$을 지나고 $y$축에 평행한 ($x$축에 수직)인 직선이 그려지는거야.

이 내용을 바탕으로 하면 $y = q$의 그래프도 이해할 수 있겠지?

• $x = 0, y = 0$의 그래프
  예시로 $x = 0$를 살펴보면 먼저, $x = 0$은 $x + 0 \times y = 0$과 같으니깐 $y$ 값에 뭘 넣어도 $x$는 $0$으로 고정돼. 그래서 $x = 0$의 그래프를 그려보면 $y$축과 일치하게 돼. 따라서 $x = 0$은 $y$축을 나타내는 거야. 그러면 $y = 0$은 $x$축을 나타낸다는 것도 알 수 있겠지?

3️⃣ 예제 살펴보기

• 예를 들어, $\;x = 3$이라는 방정식을 생각해 보자. 이때 모든 점은 $\;x$좌표가 $\;3$으로 고정돼.

• 따라서 점 $(3,\; 0), \;(3, \;1),\;(3, \;-2)$ 등 여러 점을 찍으면 $\;y$축에 평행한 직선이 만들어져.
  

• 또 다른 예로 $\;y = -2$를 보자. 이 방정식은 $\;y$가 항상 $\;-2$라는 뜻이니, $(0,\; -2),\;(1,\; -2),\; (-3,\; -2)$ 같은 점들이 $\;x$축에 평행한 직선을 이뤄.
  

• 이제 $\;2x + 3y - 6 = 0$이라는 방정식을 살펴보자.

• 이걸 $\;y$에 대해 정리하면, $\;3y = -2x + 6$이므로 $\;y = -\dfrac{2}{3}x + 2$가 돼.

• 이 식은 기울기가 $\;-\dfrac{2}{3}, \;y$절편이 $\;2$인 직선이야.

• 따라서 점 $\;(0, \;2),\;(3, \;0)$ 등을 지나면서 기울기에 따라 경사가 있는 직선을 그릴 수 있어.