일차함수와 일차방정식의 관계

1️⃣ 핵심 개념

• 미지수가 두 개인 일차방정식 $ax + by + c = 0\;\;(a,\;b,\;c\;$는 상수,
  $a \ne0,\;b \ne 0)$의 해 $(\;x,\;y)$를 좌표로 하는 점을 좌표평면 위에 나타낸 것을 일차방정식의 그래프라고 해.

• $x,\;y\;$의 값의 범위가 수 전체일 때, 일차함수 그래프는 직선이고,
  식을 $y = ax + b$로 나타내는데, 이것을 방정식 $ax + by + c = 0$
  형태로 바꿀 수 있어.
  일차함수 그래프는 미지수 두 개인 일차방정식 그래프의 특별한 경우야.

2️⃣ 개념 더 알아보기

• 미지수가 두 개인 일차방정식 $ax + by + c = 0$을
  $y$에 대한 등식으로 정리하면
  $$y = -\dfrac{a}{b}x - \dfrac{c}{b}\;\; (\;b \ne 0)$$

• 이 식은 바로 일차함수 $y = mx + n$의 꼴이야.
  여기서 기울기 $m = -\dfrac{a}{b}$, $\;y$절편 $n = -\dfrac{c}{b}$가 돼.

• 그래서 미지수 두 개인 일차방정식의 그래프는 일차함수의 그래프와 동일한 직선이 되는 거야.

• 일차방정식 $ax + by + c = 0\;\;(a,\;b,\;c\;$는 상수, $a \ne0,\;b \ne 0)$의 해 $(\;x,\;y)$의 수의 범위에 따라 그래프의 모양이 달라져.
  ⑴$\;(x,~y)$ 의 수가 자연수나 정수일 때, 그래프는 점으로 표현돼.
  ⑵ $\; (x,~y)$ 의 수가 모든 수일때, 그래프는 직선으로 표현돼.

• 중요한 점은, 일차방정식은 해를 찾는 문제고, 일차함수는 $x$값에 따라 $y$값을 대응시키는 규칙이라는 차이가 있지만, 그래프를 보면 같은 직선이 나타난다는 거야. 예를 들어, 미지수가 $2$개인 일차방정식 $2x-y+4=0$을 일차함수의 모양으로 바꾸면 $y=2x+4$야.
  기울기는 $2$이고, $\;x$절편 $\;-2,\;y$절편은 $4$가 되는 거지.
  

3️⃣ 예제 살펴보기

• 미지수 두 개인 일차방정식 $\;ax+by+c=0$을 $y = mx + n$ 꼴로 바꾸면 일차함수 그래프와 같은 직선을 그릴수가 있어.
• (1) $2x + y + 5 = 0$ 를 일차함수 꼴로 바꾸기 위해
  $\quad y$에 대해 정리하면, $y = -2x - 5$가 돼.
  $\quad$기울기가 $-2$이고, $\;y$절편이 $-5$인 직선이야.
• ⑵ $9x - 3y + 2 = 0$ 를 $y$에 대해 정리하면
  $\quad$$-3y = -9x - 2 \;\; \rightarrow \;\; y = 3x + \dfrac{2}{3}$가 돼.
  $\quad$기울기가 $\;3$이고, $\;y$절편이 $\dfrac{2}{3}$인 직선이야.