일차함수와 일차방정식의 관계

1️⃣ 사전 지식

먼저, 일차함수와 일차방정식의 기본 개념을 알아야 해.

• 일차함수는 $y = ax + b$ 꼴의 식으로, 여기서 $a$와 $b$는 숫자(상수), $x$는 변수야. 이 함수의 그래프는 항상 직선이야.
• 일차방정식은 미지수가 $2$개인 경우에 $ax + by + c = 0$ 꼴로 나타내. 여기서 $a, b, c$는 상수고, $x, y$는 변수야.

2️⃣ 핵심 개념

(1) 미지수가 $2$개인 일차방정식의 그래프
미지수가 $2$개인 일차방정식 $ax + by + c = 0$에서, 이 방정식을 만족하는 모든 $(x, y)$ 좌표를 좌표평면 위에 점으로 찍으면, 그 점들이 모여서 직선을 만들게 돼. 이 직선이 바로 일차방정식의 그래프야.

(2) 일차함수와 일차방정식의 관계
미지수가 $2$개인 일차방정식 $ax + by + c = 0$을 $y$에 대해 정리해 보면:
$$y = -\frac{a}{b}x - \frac{c}{b}$$
이 식은 바로 일차함수의 형태 $y = mx + n$와 같지?

• 여기서 $m = -\frac{a}{b}$는 기울기,
• $n = -\frac{c}{b}$는 $y$절편이 돼.

즉, 일차방정식의 그래프는 일차함수의 그래프와 같아!

3️⃣ 예제 및 적용

다음 일차방정식을 $y = ax + b$ 꼴로 바꿔볼게!

(1) $2x + y + 5 = 0$
$\quad \quad \therefore y = -2x - 5$

(2) $4x - y - 1 = 0$
$\quad \Rightarrow \quad -y = -4x + 1$
$\quad \quad \therefore y = 4x - 1$

(3) $10x + 2y - 6 = 0$
$\quad \Rightarrow \quad 2y = -10x + 6$
$\quad \quad \therefore y = -5x + 3$

(4) $9x - 3y + 2 = 0$
$\quad \Rightarrow \quad -3y = -9x - 2$
$\quad \quad \therefore y = 3x + \frac{2}{3}$

이렇게 바꾸면 각각의 일차방정식이 일차함수의 꼴로 변해서 그래프를 쉽게 그릴 수 있어!

4️⃣ 개념 정리

• 일차방정식 $ax + by + c = 0$의 해를 좌표평면에 나타내면 직선이 된다.
• 이 직선은 일차함수 $y = mx + n$의 그래프와 같은 모양이다.
• 일차방정식을 $y$에 대해 정리하면 일차함수 꼴이 되어, 기울기와 $y$절편을 쉽게 알 수 있다.
• 일차함수와 일차방정식은 서로 표현 방법만 다를 뿐, 그래프는 같다!

학습 팁:
일차방정식을 일차함수 꼴로 바꾸는 연습을 많이 하면 그래프를 그릴 때 훨씬 편하고 이해가 쉬워질 거야! 😊