일차함수와 일차방정식의 관계

1️⃣ 핵심 개념

• 일차함수는 $y = ax + b$ 꼴로 나타내는 함수야. 여기서 $a$와 $b$는 숫자(상수)이고, $a \neq 0$. 즉, $y$가 $x$의 일차식으로 나타낼 때를 말하는 거지.
• 일차방정식은 미지수를 포함한 식으로, 예를 들어 $ax + by + c = 0$ 같은 식을 말해. 여기서 $a, b, c$는 상수이고, $x, y$는 미지수야.
• 미지수가 두 개인 일차방정식 $ax + by + c = 0$의 해, 즉 이 식을 만족하는 $x, y$ 값을 좌표평면에 점으로 나타내면 이 점들이 이루는 모양은 직선이 돼. 이 직선을 그리면 이것을 일차방정식의 그래프라고 해.
• 일차함수 그래프도 직선이고, 미지수가 하나인 식을 $y = ax + b$로 나타내는데, 이것을 $ax + by + c = 0$ 형태로 바꿀 수 있어. 즉, 일차함수 그래프는 미지수 두 개인 일차방정식 그래프의 특별한 경우야.

2️⃣ 개념 더 알아보기

• 미지수가 두 개인 일차방정식 $ax + by + c = 0$에서 $b \neq 0$일 때, $y$에 대해 정리하면
  $$y = -\dfrac{a}{b}x - \dfrac{c}{b}$$
• 이 식은 바로 일차함수 $y = mx + n$의 꼴이야.
  여기서 기울기 $m = -\dfrac{a}{b}$, $y$절편 $n = -\dfrac{c}{b}$가 돼.
• 그래서 미지수 두 개인 일차방정식의 그래프는 일차함수의 그래프와 동일한 직선이 되는 거야.
• 즉, 일차방정식의 해의 집합을 좌표평면에 나타내면 일차함수 그래프와 같은 직선이 나오고, 이 두 개념은 그래프 관점에서 완전히 연결돼 있어.
• 중요한 점은, 일차방정식은 해를 찾는 문제고, 일차함수는 $x$값에 따라 $y$값을 대응시키는 규칙이라는 차이가 있지만, 그래프를 보면 같은 직선이 나타난다는 거야. 예를 들어, 미지수가 $2$개인 일차방정식 $2x-y+4=0$을 일차함수의 모양으로 바꾸면 $y=2x+4$야. 기울기는 $2$이고, $y$절편은 $4$가 되는 거지.
  

3️⃣ 예제 살펴보기

• 미지수 두 개인 일차방정식을 $y = ax + b$ 꼴로 바꾸면 일차함수 그래프와 같은 직선을 쉽게 그릴 수 있어.😊

• (1) $2x + y + 5 = 0$ 를 일차함수 꼴로 바꾸기 위해
  $\quad$$y$에 대해 정리하면, $y = -2x - 5$가 돼.

• (2) $4x - y - 1 = 0$ 를 일차함수 꼴로 바꾸기 위해
  $\quad$$y$에 대해 정리하면 $y = 4x - 1$가 돼.

• (3) $10x + 2y - 6 = 0$ 를 $y$에 대해 정리하면
  $\quad$$2y = -10x + 6$ $\rightarrow$ $y = -5x + 3$로 바뀌어.

• (4) $9x - 3y + 2 = 0$ 를 $y$에 대해 정리하면
  $\quad$$-3y = -9x - 2$ $\rightarrow$ $y = 3x + \dfrac{2}{3}$가 되지.