일차함수 $y = ax + b$의 그래프의 성질

1️⃣ 사전 지식

일차함수 $y=ax+b$의 그래프의 성질을 알기 전에, 일차함수 $y=ax+b$의 $a$와 $b$가 무엇인지 복습하고 가자!

• $a=$기울기
  일차함수는 보통 $y=ax+b$의 형태로 나타내는데, 여기서 $a$는 이 그래프의 기울기야.
  기울기의 정의는 다음과 같아.
  $$기울기=\dfrac{y의 값의 증가량}{x의 값의 증가량}$$

• $b=y$절편
  다음으로 $y$절편은 그래프가 $y$축과 만나는 점이야. 즉, 그래프에서 $x = 0$일 때의 $y$의 값이지.

이제 일차함수 $y=ax+b$에서 $a$와 $b$에 따라 그래프의 형태가 어떻게 그려지는지 확인해보자!

2️⃣ 핵심 개념

일차함수 $y=ax+b$의 그래프에서 $a$와 $b$의 부호에 따라 그래프의 모양이 어떻게 바뀌는지 확인해보자.

• $a$의 부호

  • $a>0$일 때, $x$의 값이 증가하면, $y$의 값도 증가해.
  • $a<0$일 때, $x$의 값이 증가하면, $y$의 값은 감소해. $\quad \Rightarrow \quad$ $|a|$이 클수록 그래프는 $y$축에 가까워져!

• $b$의 부호

  • $b>0$일 때, 그래프는 $y$축과 양의 부분에서 만난다.
    $\Rightarrow \quad$ ($y$절편)$\ >0$
  • $b<0$일 때, 그래프는 $y$축과 음의 부분에서 만난다.
    $\Rightarrow \quad$ ($y$절편)$\ <0$

3️⃣ 예제 및 적용

일차함수 $y=3x-2$그래프에 대한 설명으로 옳지 않은 것은?
① $x$의 값이 증가하면 $y$의 값도 증가한다.
② 오른쪽 위로 향하는 직선이다.
③ 일차함수 $y=-2x+4$보다 $y$축과 가깝다.
④ $y$축과 음의 부분에서 만난다.
⑤ 오른쪽 아래로 향하는 직선이다.

풀이
① $\Rightarrow \quad$ 기울기가 $3$으로 양수이므로 옳은 설명이야.
② $\Rightarrow \quad$ 마찬가지로 기울기가 양수이므로 옳은 설명이야.
③ $\Rightarrow \quad$ 기울기의 절댓값이 클수록 $y$축과 가까우므로 옳은 설명이야.
④ $\Rightarrow \quad$ $y$절편이 $-2$로 음수이므로 옳은 설명이야.
따라서 정답은 ⑤

4️⃣ 개념 정리

• 일차함수$y=ax+b$의 그래프에서 $a$는 기울기로, 그래프의 방향과 기운 정도를 결정해.
• 일차함수$y=ax+b$의 기울기의 절댓값이 클수록 그래프는 더욱 가파르고 $y$축에 가까워지지.
• 일차함수$y=ax+b$의 $y$절편은 그래프가 $y$축과 만나는 점의 부호를 알려줘!
• 그래프 형태는 $y$절편에서 시작해서 기울기에 따라 어떤 방향으로 뻗어나가는지 확인하면 제대로 구분할 수 있어. 😊