일차함수의 그래프의 기울기

1️⃣ 사전 지식

일차함수의 그래프의 기울기를 이해하기 위해서는, 두 점 사이의 거리나 위치 변화를 알기 위해 증가량이라는 개념이 필요해.
증가량이란 건 그냥 어떤 값이 얼마나 늘어났는지(커졌는지), 또는 줄어들었는지(작아졌는지) 알려주는 거야.

예를 들어,
$x$가 $3$에서 $7$로 바뀌면, $x$의 증가량은 $7 - 3 = 4$란 얘기고,
$y$가 $5$에서 $9$로 바뀌면, $y$의 증가량은 $9 - 5 = 4$야.

그래서 단순하게, 증가량 = 바뀐 값 - 원래 값 이렇게 생각하면 돼.

만약 $(0,0)$에서 $(2,3)$이 되었다면, $x$는 $2$만큼, $y$는 $3$만큼 증가(변화)했다고 할 수 있어!

2️⃣ 핵심 개념

일차함수는 보통 $y = ax + b$ 형태로 나타내는데, 여기서 $a$이 바로 그래프의 기울기야. 기울기는 그래프가 얼마나 가파른지, 즉 $x$가 $1$만큼 증가할 때 $y$가 얼마나 변하는지를 나타내는 수치야.

• 기울기 $a$의 정의:
  $$기울기 = \dfrac{\text{y의 값의 증가량}}{\text{x의 값의 증가량}}$$

한 직선 위에 있는 어느 두 점을 선택하여 기울기를 구해도,
기울기는 모두 동일하게 나와!

3️⃣ 예제 및 적용

다음 일차함수의 그래프의 $x$의 값이 $0$에서 $3$까지 증가할 때 $y$의 값의 증가량을 구하여라.

1. $y=3x+5$

• 기울기 : $3=\dfrac{y의 값의 증가량}{x의 값의 증가량}=\dfrac{y의 값의 증가량}{3}=\dfrac{9}{3}$
  • $\therefore y의 값의 증가량=9$ $\\[3em]$

2. $y=-2x-4$

• 기울기 : $-2=\dfrac{y의 값의 증가량}{x의 값의 증가량}=\dfrac{y의 값의 증가량}{3}=\dfrac{-6}{3}$
  • $\therefore y의 값의 증가량=-6$ $\\[3em]$

3. $y=-\dfrac{5}{3}+3$

• 기울기 : $-\dfrac{5}{3}=\dfrac{y의 값의 증가량}{x의 값의 증가량}=\dfrac{y의 값의 증가량}{3}=\dfrac{-5}{3}$
  • $\therefore y의 값의 증가량=-5$ $\\[3em]$

4️⃣ 개념 정리

• 기울기$(a)$는 일차함수 그래프에서 $x$가 변할 때 $y$가 얼마나 변하는지를 나타내는 수치야. $\\[2em]$
• 기울기 $= \dfrac{\text{y의 값의 증가량}}{\text{x의 값의 증가량}}$로 구하고, $x$가 $1$ 증가할 때 $y$가 얼마나 증가 또는 감소하는지를 알려줘. $\\[2em]$
• 기울기를 이해하면 일차함수의 변화와 그래프를 훨씬 쉽게 해석할 수 있을 거야! 궁금한 점 있으면 언제든 물어봐~ 😊