곱셈공식을 이용한 분모의 유리화

1️⃣ 핵심 개념

• 분모에 $a + \sqrt{b}$ 또는 $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ 같은 식이 있을 때, 분모를 유리수로 바꾸는 과정을 분모의 유리화라고 해.
• 이때 곱셈공식 $(x + y)(x - y) = x^2 - y^2$를 이용해.
• $b>0$이고 $a,\;b$는 유리수, $c$는 실수일 때
  $\; \dfrac{c}{a+\sqrt{b}}=\dfrac{c(a-\sqrt{b})}{(a+\sqrt{b})(a-\sqrt{b})}=\dfrac{ac-c\sqrt{b}}{a^2-b}$
• $a>0, \;b>0$이고 $a,\;b$는 유리수, $c$는 실수일 때
  $\; \dfrac{c}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\dfrac{c(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})}=\dfrac{c\sqrt{a}-c\sqrt{b}}{a-b}$

2️⃣ 개념 더 알아보기

• 분모에 $a + \sqrt{b}$가 있을 때, $a - \sqrt{b}$를 곱하는 이유는 곱셈공식에서 곱한 결과가 $a^2 - (\sqrt{b})^2 = a^2 - b$, 루트가 사라지고 정수가 되기 때문이야.
• 이 과정에서 분수의 값은 변하지 않아. 왜냐하면 분자와 분모에 같은 수를 곱하는 것은 1을 곱하는 것과 같으니까.
• 이렇게 하면 분모에 루트가 없고 계산하기 쉬워져서 수학 문제를 더 편하게 풀 수 있어.
• 곱셈공식의 원리를 잘 이해하는 것이 분모의 유리화에서 가장 중요해.
  

3️⃣ 예제 살펴보기

• 분수 $\dfrac{2}{2 + \sqrt{2}}$를 분모 유리화 하여라.
  분모와 분자에 $2 - \sqrt{2}$를 곱해서 정리하면 돼.
  $\dfrac{2}{2 + \sqrt{2}} =\dfrac{2(2-\sqrt{2})}{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}=\dfrac{2(2-\sqrt{2})}{2^2-(\sqrt{2})^2}\\ \\ \quad \quad\quad \;\;=\dfrac{2(2-\sqrt{2})}{4-2}=2-\sqrt{2}$
• 이 과정에서 분모 곱셈공식 $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$를 이용하여
  $\dfrac{2}{2 + \sqrt{2}} =2-\sqrt{2}$ 로 분모 유리화가 되는 것을 알 수 있어.