곱셈공식을 이용한 분모의 유리화

1️⃣ 사전 지식

곱셈공식을 이용한 분모의 유리화를 이해하려면 먼저, 분모의 유리화와 곱셈공식(2)를 알아야 해.

• 분모의 유리화는 분모가 근호를 포함한 무리수일 때, 분모에 $0$이 아닌 수를 곱하여 유리수로 바꾸는 과정을 말해.
  특히, $$a>0, \hspace{0.1cm} b>0 \hspace{0.1cm} 일 \hspace{0.1cm} 때, \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \dfrac{\sqrt{a}\sqrt{b}}{\sqrt{b}\sqrt{b}} = \dfrac{\sqrt{ab}}{b}$$ 형태에 대해서 다루었어.

• 곱셈공식(2)는 다음 식을 이야기해. $$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$$

2️⃣ 핵심 개념

• 곱셈공식(2) $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$를 살펴보면 곱셈공식 중 유일하게 전개한 항들이 모두 제곱 형태임을 알 수 있어.
  이러한 특징 때문에 분모가 $a + \sqrt{b}$ 또는 $\sqrt{a} + \sqrt{b}$꼴인 분수는 곱셈공식(2)를 이용하여 유리화할 수 있어.

예를 들어, $\dfrac{1}{\sqrt{2} - 1} = \dfrac{1 \times (\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)}$
$\hspace{2.7cm} = \dfrac{\sqrt{2} + 1}{2 - 1}$
$\hspace{2.7cm} = \sqrt{2} + 1$
과 같이 유리화 할 수 있지.

• 분모의 형태에 따라서
  $b>0$, $a$, $b$는 유리수 $c$는 실수일 때,
  $$\dfrac{c}{a+\sqrt{b}} = \dfrac{c(a - \sqrt{b})}{(a+\sqrt{b})(a-\sqrt{b})} = \dfrac{c(a-\sqrt{b})}{a^2 - b}$$
  $a>0$, $b>0$, $a$, $b$는 유리수 $c$는 실수일 때, $$\dfrac{c}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \dfrac{c(\sqrt{a} - \sqrt{b})}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})} = \dfrac{c(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{a - b}$$ $$(단, \hspace{0.1cm} a \neq b)$$

3️⃣ 예제 및 적용

예를 들어,
$$\dfrac{3}{2 + \sqrt{5}}$$
를 유리화해 볼게.
곱셈공식(2)를 이용하기 위해서 분자와 분모에 $2 - \sqrt{5}$를 곱해줘.
$$\dfrac{3}{2 + \sqrt{5}} \times \dfrac{2 - \sqrt{5}}{2 - \sqrt{5}} = \dfrac{3(2 - \sqrt{5})}{(2 + \sqrt{5})(2 - \sqrt{5})}$$
분모는 곱셈 공식으로 계산하면
$$(2 + \sqrt{5})(2 - \sqrt{5}) = 2^2 - (\sqrt{5})^2 = 4 - 5 = -1$$
따라서 결과는
$$\frac{6 - 3\sqrt{5}}{-1} = -6 + 3\sqrt{5}$$

4️⃣ 개념 정리

• 분모의 유리화는 분모가 근호를 포함한 무리수일 때, 분모에 $0$이 아닌 수를 곱하여 유리수로 바꾸는 과정을 말해.
• 이때 곱셈 공식(2)를 활용해서 분모와 분자에 분모가
  $a - \sqrt{b}$꼴이면 $a + \sqrt{b}$를
  $a + \sqrt{b}$꼴이면 $a - \sqrt{b}$를
  곱해서 분모를 유리수로 만들어.
• 또, 분모가
  $\sqrt{a} - \sqrt{b}$꼴이면 $\sqrt{a} + \sqrt{b}$를
  $\sqrt{a} + \sqrt{b}$꼴이면 $\sqrt{a} - \sqrt{b}$를
  곱해서 분모를 유리수로 만들어.

학습 팁:
분모의 유리화를 할 때는 항상 분모와 분자에 같은 식을 곱하는 것을 잊지 말고, 곱셈공식을 활용해서 제곱근을 없애는 것에 집중해 보자! 😊