이차방정식의 활용

1️⃣ 핵심 개념

• 이차방정식의 활용은 말 그대로 실제 생활이나 수학 문제를 이차방정식으로 만들어서 해답을 찾는 것이다.
• 이차방정식의 활용은 문제 상황에서 미지수를 정하고, 그 관계를 식으로 나타내어 문제를 푸는 과정이다.
• 활용을 푸는 순서를 기억하면 쉽게 이차방정식으로 유도해서 값을 구할 수 있다.
  $⑴\;$ 문제에서 구하고자 하는 값을 $\;x$로 놓는다.
  $⑵\;$ 미지수 $\;x$를 포함해서 문제 속에 주어진 조건을 이용하여
  이차방정식을 유도한다.
  $⑶\;$ 이렇게 구한 이차방정식을 인수분해를 이용하는 방법이나 근의 공식을
  이용하여 미지수 $\;x$의 값을 구한다.
  $⑷\;$ 구한 해가 문제의 조건을 만족하는지 반드시 확인하고 답을 정한다.

2️⃣ 개념 더 알아보기

• 미지수를 정하는 기준은 문제에서 직접 찾거나, 문제의 요구 조건을 가장 잘 나타내는 수를 선택하는 것이다.
• 기본적인 유형의 설정 방법에 대해서는 알아두어야 한다.
• 수에 대한 설정
  $①\;$ 연속하는 두 수 : $x, \; x+1\;$ 또는 $\;x-1, \;x$
  $\quad \;$ 연속하는 세 수 : $x-1, \; x,\; x+1\;$
  $②\;$ 연속하는 두 짝수, 홀수 : $x, \; x+2\;$ 또는 $\;x-2, \;x$
  $\quad \;$ 연속하는 세 홀수 : $x-2, \; x,\; x+2\;$
• 쏘아 올린 물체
  $①\;$ 시각 $\;t$에 대한 식에서 $\;t \geq 0$이다.
  $②\;$ 쏘아 올린 물체의 높이가 $\; h \;\mathrm{m}$인 경우는 물체가 올라갈 때와 내려올 때 두 번 생긴다. (단, 최고 높이 제외)
  $③\;$ 물체가 지면에 떨어질 때의 높이는 $\; 0 \;\mathrm{m}$이다.
• 도형에 관한 문제
  각각의 도형의 넓이를 구하는 공식을 사용한다.
  상자를 만드는 경우: 부피$= ($가로 $) \times ($세로$) \times ($ 높이 $)$
• 실생활 문제에서는 해가 음수일 때 제외하는 경우가 많다. 왜냐하면 길이, 시간 등은 음수가 될 수 없기 때문이다.
• 해를 구한 뒤에는 반드시 문제에 맞게 해를 대입해 결과를 확인하는 과정이 필요하다. 이 과정에서 문제 조건에 맞는 해만 답으로 인정해야 한다.
• 이렇게 문제를 이해하고, 미지수를 정하고, 방정식을 세우고, 푸는 과정을 거쳐서 실제 문제를 해결하는 것이 이차방정식 활용의 핵심이다.

3️⃣ 예제 살펴보기

• 예를 들어, 문제에서 "가로 길이보다 $3 \mathrm{cm}$ 긴 세로 길이를 가진 직사각형의 넓이가 $40 \mathrm{cm²}$이다. 이때, 가로의 길이를 구하라"라고 하면,
• 어떤 직사각형의 가로 길이를 $x$라고 하면 세로 길이는 $x + 3$이 된다.
• 넓이는 가로 곱하기 세로이므로, 식은 $x(x + 3) = 40$가 된다.
• 이걸 정리하면 $x^2 + 3x - 40 = 0$이라는 이차방정식이 완성돼.
• 이 방정식을 인수분해하면 $(x + 8)(x - 5) = 0$이 되고,
  $x = -8$ 또는 $x = 5$가 돼.
• 길이는 음수가 될 수 없으니 $x = 5$ $\mathrm{cm}$가 답이야.
• 마지막으로, 가로가 $5 \mathrm{cm}$, 세로가 $8 \mathrm{cm}$일 때 넓이가 $40 \mathrm{cm^2}$인지 확인해보면 $5 \times 8 = 40$이므로 맞는 답임을 알 수 있어.