이차방정식 구하기

1️⃣ 핵심 개념

• 이차방정식의 두 근 $\alpha$, $\beta$를 알 때 방정식을 만드는 방법이다.
• 인수분해를 이용하여 두 근을 구하는 방법의 역으로 이차방정식을 구할 수 있다. 만약 두 근이 $\alpha\;$, $\beta$라고 하면
  $\quad \quad \quad \quad x= \alpha \;$ 또는 $\; x=\beta$
  $\quad \quad \quad \quad x- \alpha =0\;$ 또는 $\; x-\beta =0$
  $\quad \quad \quad \quad (x- \alpha )( x-\beta)=0$
• 여기서 $\;x^2$의 계수가 $\;a\;$라면, $$a(x-\alpha)(x-\beta) = 0$$
• 이차방정식의 중근이 $\alpha$이고 $x^2$의 계수가 $a$인 경우에는
  $\;($완전제곱식$)=0 \;$ 꼴을 가지므로
  $$a(x-\alpha)^2 = 0$$

2️⃣ 개념 더 알아보기

• 이차방정식의 두 근 $\alpha$, $\beta$가 주어지고 이차항의 계수가 $\;a \;$일 때 $$a(x-\alpha)(x-\beta) = 0$$
• 위의 이차방정식을 정리하면 $$a\{x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha \beta \} = 0$$ 가 된다.
  이 방정식의 모양을 이용하여 두 근을 알 때 근과 계수와의 관계를 이용하여 $$a\{x^2-(두근의 \; 합)x+(두근의 \; 곱 \;)\} = 0$$
• 정리하면
  $①\;$ 두 근 $\alpha$, $\;\beta$이고 이차항의 계수가 $\;a\;$이면 $$a(x-\alpha)(x-\beta) = 0$$ $②\;$ 이차항의 계수가 $\;a\;$이고 중근 $\;\alpha$를 가지면 $$a(x-\alpha)^2 = 0$$ $③\;$ 이차항의 계수가 $\;a\;$이고 두 근을 알면 $$a\{x^2-(두근의 \; 합)x+(두근의 \; 곱 \;)\} = 0$$
• 위의 세 방법으로 근을 알 때 이차방정식을 구할 수 있다.

3️⃣ 예제 살펴보기

• 두 근이 $\;2$와 $\;5$이고, $x^2$의 계수가 $\;3$인 이차방정식을 구해보자.
  먼저 근을 이용해 인수분해 형태를 쓰면
  $\quad \quad \quad 3(x-2)(x-5) = 0$
  $\quad \quad \quad 3(x^2 - 7x + 10) = 0$
  $\quad \quad \quad \therefore \; 3x^2 - 21x + 30 = 0$
• 이번에는 중근이 $\;4$이고, $x^2$의 계수가 $\;2$인 이차방정식을 구해보자.
  중근이므로 식은 $2(x-4)^2 = 0$이야.
  $\quad \quad \quad 2(x^2 - 8x + 16) = 0$
  $\quad \quad \quad \therefore \; 2x^2 - 16x + 32 = 0$