이차방정식의 근의 개수

1️⃣ 핵심 개념

• 이차방정식의 판별식이라는 것은 근의 성질과 개수를 미리 알아보는 유용한 계산식이다.
• 이차방정식은 $ax^2 + bx + c = 0$$\;($단, $a \ne 0 )$ 에서 근의 공식을 먼저 생각해보자.
  $$x= \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a }$$
  에서 루트안에 있는 $b^2-4ac$를 판별식이라고 한다.
• 판별식을 $D=b^2-4ac$라 두고 보통 판별식 $D$라고 줄여서 표현한다.
• 판별식 으로 나온 계산값의 부호에 따라 근의 개수는 $0$개, $1$개, $2$개 중 하나가 될 수 있다..

2️⃣ 개념 더 알아보기

• 판별식 $D = b^2 - 4ac$의 값의 부호로 이차방정식의 근은 다음과 같이 판별한다.
  $① \; D>0$일 때, '서로 다른 두 실근이 존재한다.'라고 하고
  근의 개수는 $2$개가 된다.
  $② \; D=0$일 때, , '서로 같은 두 근이 존재한다'라고 하고
  이때 '중근'을 가진다고 한다. 근의 개수는 $1$개이다.
  또 다른 의미로 이차방정식 $ax^2 + bx + c = 0$$\;($단, $a \ne 0 )$ 가 완전제곱식꼴이 된다는 의미도 가진다.
  $③ \; D<0$일 때, 즉 루트안의 값이 음수가 되므로 실수에서는 루트안의 값이 음수가 나올 수 없다. 따라서 근이 존재하지 않는다.
• 이런 판별식의 역할 덕분에 방정식의 해를 구하기 전에 근의 개수를 쉽게 알 수 있어.
• $ax^2 + bx + c = 0$$\;($단, $a \ne 0 )$ 에서 $b\;$가 짝수일 때,
  판별식 $\dfrac{D}{4}= \left( \dfrac{b}{2} \right)^2 -ac$ 로 사용하면 더욱 편리하다.

3️⃣ 예제 살펴보기

• 예를 들어, $2x^2 - 4x + 1 = 0$ 이라는 방정식이 있다고 하자.
  판별식을 계산해 보면 $D = (-4)^2 - 4 \times 2 \times 1 = 16 - 8 = 8$ 이다.
  $D > 0$ 이니까 근은 2개야.
• 또 다른 예로 $x^2 - 6x + 9 = 0$ 을 보자.
  판별식은 $D = (-6)^2 - 4 \times 1 \times 9 = 36 - 36 = 0$ 이다.
  $D = 0$ 이니까 근은 1개야.
• 마지막으로 $x^2 + x + 1 = 0$ 의 판별식은 $D = 1^2 - 4 \times 1 \times 1 = 1 - 4 = -3$ 이다.
  $D < 0$ 이므로 근이 없어, 즉 실수 범위에서 해가 없는 거야.