복잡한 이차방정식의 풀이

1️⃣ 핵심 개념

• 복잡한 이차방정식이라도 우리가 잘 알고 있는 $ax^2 + bx + c = 0$ 의
  가장 기본적인 형태로 바꾸어 풀면 된다.
• 유형은 $\;①\;$ 계수가 소수나 분수인 경우
  $\;②\;$ 괄호가 포함되어 있는 경우
  $\;③\;$ 공통부분이 있는 경우
• 계수가 소수일 때는 $\;10,\; 100 \;$등을 곱하여 소수를 정수로 바꾸어 계산.
• 계수가 분수일 때는 분모의 최소공배수를 곱하여 분수를 정수로 바꾸어 계산.
• 괄호가 있는 경우는 분배법칙으로 펼쳐서 정리 후 계산.
• 공통부분이 있는 경우는 공통부분을 치환하여 정리후 계산.
• 기본적으로는 이차방정식의 근의 공식, 인수분해, 완전제곱식 변형 중 편한 방법을 선택해서 푼다.
• 복잡해 보여도 결국엔 단순한 이차방정식 $ax^2 + bx + c = 0$으로 바꾸는 과정이 핵심이다.

2️⃣ 개념 더 알아보기

• 계수가 소수인 경우는 양변에 $\;10,\; 100, \;1000, \; \cdots \;$등을 곱하여 계수를 정수로 바꾸어 계산한다.
  예를 들어, $0.1x^2 -0.5x =0.6\;$ 에서 양변에 $\;10\;$를 곱하면
  $\quad \quad \quad x^2 -5x = 6$
  $\quad \quad \quad x^2-5x-6=0$
  $\quad \quad \quad(x-6)(x+1)=0$
  $\quad \quad \quad \therefore \; x=6\;$ 또는 $\;x=-1$

• 계수가 분수인 경우는 양변에 분모의 최소공배수를 곱하여 계산한다.
  예를 들어, $\;\dfrac{1}{4}x^2- \dfrac{1}{2}x=2 \;$ 에서 분모의 최소공배수 $\;4\;$를 곱하여
  $\quad \quad \quad x^2-2x=8 \;$
  $\quad \quad \quad x^2-2x-8=0 \;$
  $\quad \quad \quad (x-4)(x+2)=0 \;$
  $\quad \quad \quad \therefore \; x=4\;$ 또는 $\;x=-2$

• 괄호가 있을 경우는 분배법칙을 사용해서 괄호를 풀어서 계산한다.
  예를 들어, $(x -1)(x+3) = 5$에서 분배법칙을 하면
  $\quad \quad \quad x^2 + 2x - 3 = 5$
  $\quad \quad \quad x^2 + 2x - 8 = 0$
  $\quad \quad \quad (x+4)(x-2) = 0$
  $\quad \quad \quad \therefore \; x=-4\;$ 또는 $\;x=2$

• 공통부분이 있을 때는 공통부분을 치환하여 문제를 푼다.
  예를 들어, $(x+2)^2-6(x+2)-27=0$에서
  $\; x+2=A\;$라고 치환하고
  $\quad \quad \quad A^2 -6A - 27 = 0$
  $\quad \quad \quad (A-9)(A+3) = 0$
  $\quad \quad \quad A\;$ 대신에 다시 $x+2$를 대입하면
  $\quad \quad \quad (x-7)(x+5) = 0$
  $\quad \quad \quad \therefore \; x=7\;$ 또는 $\;x=-5$

• 결국 복잡한 식도 차근차근 정리하고, 표준 이차방정식 풀이 방법을 적용하면 해결할 수 있다.

3️⃣ 예제 살펴보기

• 예를 들어, $\dfrac{1}{2}x^2 - \dfrac{3}{4}x + \dfrac{1}{8} = 0$을 풀어보자.
• 먼저 분모의 최소공배수 8을 전체 식에 곱한다.
  $8\times\left(\dfrac{1}{2}x^2 -\dfrac{3}{4}x + \dfrac{1}{8}\right) = 0$
  $4x^2 - 6x + 1 = 0$
  인수분해가 불가능해서 근의 공식을 쓴다.
  $x = \dfrac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \times 4 \times 1}}{2 \times 4} = \dfrac{6 \pm \sqrt{36 - 16}}{8} = \dfrac{6 \pm \sqrt{20}}{8}$
• $\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$이므로,
  $x = \dfrac{6 \pm 2\sqrt{5}}{8} = \dfrac{3 \pm \sqrt{5}}{4}$가 해가 된다.
• 또 다른 예로, $(x - 1)(2x + 3) = x^2 + 5x + 6$처럼 괄호가 있는 식은 먼저 분배법칙으로 풀고, 정리한 후 일반적인 이차방정식 풀이를 하면 된다.