이차방정식의 근의 공식

1️⃣ 핵심 개념

• 이차방정식의 일반적인 꼴은 $ax^2 + bx + c = 0$ $(a \neq 0)$ 이다.
• 이차방정식의 해를 구하는 방법
  $①\;$ 인수분해를 이용하는 방법
  $②\;$ 제곱근을 이용하는 방법 (완전제곱식의 형태일 때 사용)
  $③\;$ 근의 공식을 이용하는 방법
• 인수분해는 해를 구하는 가장 일반적인 방법이지만, 모든 이차방정식이 인수분해가 가능한건 아니다. 따라서 인수분해가 안되는 이차방정식은 근의 공식을 이용하여 해를 구한다.
• 이차방정식 $ax^2 + bx + c = 0$ $(a \neq 0)$ 근의 공식은
  $$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$
  이고, 이 공식으로 언제든지 이차방정식의 해를 쉽게 구할 수 있어.

2️⃣ 개념 더 알아보기

• 근의 공식은 이차방정식을 완전제곱식으로 바꾸는 과정에서 만들어졌어.
• 이차방정식 $ax^2 + bx + c = 0$ $(a \neq 0)$ 근의 공식은
  $$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$
• 짝수 공식 : 여기서 $b$가 짝수일 때, $\dfrac{b}{2}=b' \;$라 두면
  $$x = \dfrac{-b' \pm \sqrt{b'^2 -ac}}{a}$$
• 짝수 공식을 사용하면 수가 작아져서 계산하기 편해진다.
• 이차방정식을 $ax^2 + bx + c = 0$ $($단, $a>0) \;$근의 공식 유도 과정을 빠르게 살펴보자.
  $①\; x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a} =0$
  $② \; x^2+\dfrac{b}{a}x=-\dfrac{c}{a}$
  $③ \; x^2+\dfrac{b}{a}x+ \left( \dfrac{b}{2a} \right)^2=-\dfrac{c}{a}+ \left( \dfrac{b}{2a} \right)^2$
  $④ \; \left(x +\dfrac{b}{2a} \right)^2=-\dfrac{c}{a}+ \dfrac{b^2}{4a^2}$
  $⑤ \; \left(x +\dfrac{b}{2a} \right)^2= \dfrac{b^2-4ac}{4a^2}$
  $⑥ \; x +\dfrac{b}{2a}= \pm \sqrt{ \dfrac{b^2-4ac}{4a^2}}$
  $$\therefore\; x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

3️⃣ 예제 살펴보기

• $2x^2 - 3x - 7 = 0$의 해를 구해보자.
• 먼저 $a=2, b=-3, c=-7$을 근의 공식에 대입하면
  $x = \dfrac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4\times 2 \times (-7)}}{2\times 2} \\ \quad \quad =\dfrac{3 \pm \sqrt{65}}{4}$
  $\therefore\; x=\dfrac{3 + \sqrt{65}}{4}, \; x=\dfrac{3 - \sqrt{65}}{4}$