완전제곱식을 이용한 이차방정식의 풀이

1️⃣ 핵심 개념

• 이차방정식 $ax^2 + bx + c = 0$의 좌변을 인수분해하기 어려운 경우에는 (완전제곱식)=(상수) 꼴로 나타낸 후 이차방정식을 풀수있다.
• $(x + p)^2 = q$처럼 바꾸면 제곱근의 정의를 이용해서 풀 수 있다.
  $$\therefore\; x=-p \pm \sqrt{q}$$
• 이 방법은 이차방정식의 좌변을 $(x + p)^2$ 꼴로 만들어서 제곱근을 이용해 쉽게 풀 수 있게 해줘.
• 이차방정식 $ax^2 + bx + c = 0$를 완전제곱식으로 바꾸는 방법을 확실히
  익힌 후 제곱근을 이용한 풀이로 해를 구할 수 있다.
• 이렇게 하면 인수분해가 어려운 방정식도 간단히 풀 수 있어.

2️⃣ 개념 더 알아보기

• 이차방정식 $ax^2 + bx + c = 0$의 좌변을 완전제곱식으로 만드는 과정은 다음과 같다.

• $①$ $x^2$의 계수 $a$로 양변을 나누어 $x^2$의 계수를 $1$로 만든다.
  $$x^2+\dfrac{b}{a}x+ \dfrac{c}{a}=0$$

• $②$ 상수항을 우변으로 이항한다.
  $$x^2+\dfrac{b}{a}x=- \dfrac{c}{a}$$

• $③$ 완전제곱식의 조건 (일차항계수의 반의 제곱)을 양변에 더한다.
  일차항계수의 반의 제곱은 $\left(\dfrac{b}{a} \times \dfrac{1}{2} \right)^2=\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2$ 이므로
  $$x^2+\dfrac{b}{a}x+\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2=- \dfrac{c}{a}+\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2$$

• $④$ 좌변을 완전제곱식을 고쳐서 제곱근의 원리로 해를 구한다.
  $$\left(x+ \dfrac{b}{2a}\right)^2=- \dfrac{c}{a}+\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2$$

• 이후 양변에 제곱근을 씌워 $x + p = \pm \sqrt{q}$가 되고, $x$ 값을 구할 수 있어.

• 이 과정은 인수분해가 어려운 이차방정식을 풀 때 꼭 필요한 방법이며, 중학교 수학 범위 안에서 꼭 알아야 하는 풀이법이야.

3️⃣ 예제 살펴보기

• 예를 들어, $2x^2 + 8x + 2 = 0$을 풀어보자.
• 먼저 양변을 $x^2$의 계수 $2$로 나누면 $$x^2 + 4x + 1 = 0$$
• 여기서 상수항을 좌변으로 이항하면 $$x^2 + 4x=-1$$
• 일차항의 계수의 반의 제곱 $\left(4 \times \dfrac{1}{2} \right)^2 =4$ 을 양변에 더하면 $$x^2 + 4x+4=-1+4$$
• 좌변을 완전제곱식으로 정리하면 $$(x+2)^2 =3$$
• 제곱근의 성질로 해를 구하면 $x=-2\pm\sqrt{3}$