제곱근을 이용한 이차방정식 $(x + p)^2 = q \; (q > 0)$의 풀이

1️⃣ 핵심 개념

• $(x + p)^2 = q$라는 식은 $x + p$를 제곱했을 때 $q$가 된다는 뜻이다.
• $(x+p)^2=q \;$ 꼴은 이차방정식을 푸는 여러 방법 중 하나인 제곱근을 이용한 풀이의 가장 기본이 되는 형태이다.
• 좌변: $(x+p)^2\;$는 완전제곱식입니다. 어떤 식(여기서는 $x+p\;$)을 통째로 제곱했다는 뜻이다.
• 우변: $\;k \;$는 상수입니다. "어떤 식을 제곱했더니 특정한 숫자가 되었다"라는 모양이다.
• 이 꼴의 핵심은 바로 제곱근의 성질을 이용해 근 $\;x$ 값을 바로 구할 수 있다는 점입니다. 만약 $x^2 = k\;$ 라면, $\;x$는 $k$의 제곱근인 $\pm\sqrt{k}$가 되어야 한다.
• $(x + p)^2 = q$ 식을 풀려면 양쪽에 제곱근을 씌워서 $x + p = \pm \sqrt{q}$로 바꾸는 거야. 여기서 $\pm$는 플러스나 마이너스 둘 다 가능하다는 뜻이다.
• 그런 다음 $x$에 대해 정리하면 $x = -p \pm \sqrt{q}$가 돼서 해를 구할 수 있다.
• 중요한 점은 $q$가 양수여야만 제곱근이 실제 수로 존재해서 해를 찾을 수 있다는 것이다.

2️⃣ 개념 더 알아보기

• 이제 $(x+p)^2=q\;$ 형태의 이차방정식을 푸는 단계를 차근차근 알아보자.
• 제곱근의 정의 이용: 좌변의 일차식 $\;x+p \;$을 하나의 값 $A\;$로 치환한다. $\;A^2 = q\;$ 이므로, $A = \pm\sqrt{q} \;$ 이다.
• $A\;$를 다시 $x + p\;$로 바꾸면 $x+p=\pm \sqrt{q}\;$가 된다.
• 마지막으로 $\;p \;$를 이항하면 근은 $x =-p \pm \sqrt{q}$ 를 얻는다.
• 여기서 $\;q\;$의 부호에 따라 근의 모양과 개수가 달라진다.
  $① \; q>0 \;$일 때, 개수는 $\;2\;$개이고 근은 $\;x=-p \pm \sqrt{q}$
  $② \; q=0 \;$일 때, 개수는 $\;1\;$개이고 근은 $\;x=p$인 중근
  $③ \; q<0 \;$일 때, 개수는 $\;0\;$개이고 실수인 근은 존재하지 않는다.
• 이 형태가 가장 기본이 되며, 나중에 배우는 '완전제곱식을 이용한 이차방정식 풀이'도 결국 복잡한 식을 이 $(x+p)^2=q\;$ 꼴로 만든 다음 풀게 된다.

3️⃣ 예제 살펴보기

• 예를 들어 $(x + 3)^2 = 16$이라는 이차방정식을 풀어보자.
• $x + 3 = \pm \sqrt{16}$
  여기서 $\sqrt{16} = 4$이므로 $\; x + 3 = \pm 4$가 돼.
  $x + 3 = 4$ 또는 $x + 3 = -4$
  $\therefore \; x=1\;$ 또는 $\;x=-7$